高考数学(文)大一轮复习检测:选修4-4第1讲坐标系
选修4-4 坐标系与参数方程 知识点 考纲下载 坐标系 1. 理解坐标系的作用. 2. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直 角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 4. 能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标 系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义. 5. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间 直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别. 参数方程 1. 了解参数方程,了解参数的意义. 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 3. 了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 4. 了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在 表示行星运动轨道中的作用. 第1讲坐标系 .教材回顾▲夯实基础、 T课本温故•追根求源I [学生用书P214]) 1. 坐标系 (1) 伸缩变换 f.x-/(人>0), 设点心y)是平面直角坐标系中的任意-点,在变换代L,=心顷>。)的作用下, 点P(x, y)对应到点(Ax, 〃y),称p为平面直角坐标系中的伸缩变换. (2) 极坐标系 在平面内取一个定点。,叫做极点;自极点。引一条射线Ox,叫做极轴;再选一个长度单位,一个 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. M(p,0) cix 设M是平面内一点,极点。与点M的距离|。物叫做点M的极径,记为》;以极轴Ox为始边,射线 为终边的角xOM叫做点M的极角,记为0,有序数对(p, 〃)叫做点M的极坐标,记为〃)• 2. 直角坐标与极坐标的互化 胛, o\x N X 把直角坐标系的原点作为极点,工轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设肱是 「/) [ 一2=静 + 丫2, X—pcos 0, 平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为3,y)和3,贝M] y [y=〃sin。, tan。=弋(尤尹0) W. I x 3. 直线的极坐标方程 若直线过点M(po,九),且极轴到此直线的角为Q,则它的方程为:〃sin(。一Q)=posin(eo一。). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1) 直线过极点:0=3o和。=兀+。0; (2) 直线过点0)且垂直于极轴:dcos 0 ⑶直线过§且平行于极轴:psin 9=b. 4. 圆的极坐标方程 若圆心为地90,九),半径为尸,则该圆的方程为: P2~2po Pcos(3—0o)+pS~r2=O. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1) 当圆心位于极点,半径为尸:p = Y・, (2) 当圆心位于0),半径为〃=2qcos。; (3) 当圆心位于祐q, -y],半径为。:〃=2Qsin 。. A典例剖析-突破考点, I名师导悟匚以例祝®• 考点1 平面直角坐标系中的伸缩变换[学生用书P215] [典例引领] v2f.V=3.r, 例1求双曲线C: V2-77= 1经过(3: 1 ,变换后所得曲线C 的焦点坐标. 64W =y (1 , -V = TA ,y-x, ~ 4v 2 【解】 设曲线(7上任意一点P\x , y ),由上述可知,将]3 代入.v-^=l, 、y=2y,, 丫2 V’ 2y2 2 1, 化简得云一节=1,即5■一击=1为曲线C 的方程,可见仍是双曲线,则焦点Fi(-5, 0), F2(5, 0)为 所求. 求经伸缩变换后曲线方程的方法 f .=业 f.r, =lx, z>0,A X 平面上的曲线y=fix)在变换眩:〈,的作用下的变换方程的求法是将、,代Ky=fix), 顷=“,〃>。、,—二得七-=/&匚),整理之后得到y =h(x ),即为所求变换之后的方程. 1 .求椭圆*+>2=1,经过伸缩变换 系22 将①代 A—+/= 1, <——+y2= 1,即 x,2+y,2=l. 因此椭圆彳+寸=1经伸缩变换后得到的曲线方程是对+寸=1. 2. 在同一平面直角坐标系中,将直线%—2y=2变成直线2V—y,=4,求满足图象变换的伸缩变换. [% =Ax (久>0), [解]设变换为0), \xf =Xj\xf =Xj =4,即< , 因此,经过变换< , 后,直线x~2y=2变成直线2x —y=4. 板=4y.=4y 考点2 极坐标与直角坐标的互化[学生用书P215] [典例引领] 例2 在极坐标系下,已知圆O: 〃=cos 〃+sin Q和直线/:少此寸一十卜平. (1) 求圆。和直线I的直角坐标方程; (2) 当。£(0,兀)时,求直线,与圆。公共点的一个极坐标. 【解】(1)圆 O: p =cos 8+sin 8,即 p2=/)cos 3+psin 8, 圆。的直角坐标方程为:x1+y2=x+y,即x1+y2—x—y=0f直线/: 〃sin“ 8 —乎,即〃sin 0 —pcos 8 = 1, 则直线Z的直角坐标方程为y—x=\,即x—y+l=0. (x2+y2—x—y=0,|x=0,< (2)由_得故直线/与圆。公共点的一个极坐标为1, V [x-y+l=0〔y=l,V2/ 极坐标与直角坐标互化的注意点 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯 (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. [通关练习] 已知圆C的极坐标方程为p2+2皿,sin(。一彳)一4=0,求圆C的半径. [解]以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为X轴的正半轴,建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为 -4=0, 化简,得p2+2psin 8—2/)cos 8—4=0. 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0, 即 3—1)2 + 3+1)2 = 6, 所以 圆C的半径为*. 1. (2017-洛阳统考)已知圆和圆仍的极坐标方程分别为p = 2, p2_2W,cos( 〃一壬| = 2. (1) 将圆Oi和圆仍的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程. [解]⑴由 p=1 知“2=4,所以 _r2+y2=4.因为 —pcos(。一号) = 2, 所以 p-—2-^2 p^cos Ocos于+sin Osin号) = 2.所以 x2+y2—2.r—2y—2 = 0. (2)将