高考数学（文）大一轮复习检测：选修4-4第1讲坐标系

选修4-4 坐标系与参数方程 知识点 考纲下载 坐标系 1. 理解坐标系的作用. 2. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直 角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 4. 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标 系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义. 5. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间 直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. 参数方程 1. 了解参数方程，了解参数的意义. 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 3. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. 4. 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在 表示行星运动轨道中的作用. 第1讲坐标系 .教材回顾▲夯实基础、 T课本温故追根求源I [学生用书P214] 1. 坐标系 1 伸缩变换 f.x-/人＞0， 设点心y是平面直角坐标系中的任意-点，在变换代L，心顷＞。的作用下, 点Px, y对应到点Ax, 〃y,称p为平面直角坐标系中的伸缩变换. 2 极坐标系 在平面内取一个定点。，叫做极点；自极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选一个长度单位，一个 角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系. Mp,0 cix 设M是平面内一点，极点。与点M的距离|。物叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线 为终边的角xOM叫做点M的极角，记为0,有序数对p, 〃叫做点M的极坐标，记为〃 2. 直角坐标与极坐标的互化 胛， o\x N X 把直角坐标系的原点作为极点，工轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设肱是 「/ [ 一2静 丫2, Xpcos 0, 平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为3，y和3，贝M] y [y〃sin。， tan。弋尤尹0 W. I x 3. 直线的极坐标方程 若直线过点Mpo，九，且极轴到此直线的角为Q,则它的方程为〃sin。一Qposineo一。. 几个特殊位置的直线的极坐标方程 1 直线过极点03o和。兀。0； 2 直线过点0且垂直于极轴dcos 0 ⑶直线过且平行于极轴psin 9b. 4. 圆的极坐标方程 若圆心为地90，九，半径为尸，则该圆的方程为 P22po Pcos30opSr2O. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1 当圆心位于极点，半径为尸p Y・, 2 当圆心位于0,半径为〃2qcos。； 3 当圆心位于祐q, -y],半径为。〃2Qsin 。. A典例剖析-突破考点， I名师导悟匚以例祝 考点1 平面直角坐标系中的伸缩变换[学生用书P215] [典例引领] v2f.V3.r, 例1求双曲线C V2-77 1经过3 1 ,变换后所得曲线C的焦点坐标. 64W y 1 , -V TA ,y-x, 4v 2 【解】 设曲线7上任意一点P\x, y,由上述可知，将]3 代入.v-l, 、y2y，， 丫2 V’ 2y2 2 1, 化简得云一节1，即5■一击1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则焦点Fi-5, 0, F25, 0为 所求. 求经伸缩变换后曲线方程的方法 f .业 f.r, lx, z0,A X 平面上的曲线yfix在变换眩〈,的作用下的变换方程的求法是将、，代Kyfix, 顷，〃。、，二得七-/匚，整理之后得到yhx,即为所求变换之后的方程. 1 .求椭圆*21,经过伸缩变换 ［通关练习］ 一2*后的曲线方程. y x2xf, yy.① f， 1 X 祁 2 得到 、矿 系22 将①代 A/ 1, ＜y2 1,即 x，2y，2l. 因此椭圆彳寸1经伸缩变换后得到的曲线方程是对寸1. 2. 在同一平面直角坐标系中，将直线％2y2变成直线2Vy，4,求满足图象变换的伸缩变换. ［ Ax 久0, ［解］设变换为/、代入第二个方程，得2Ax/zjv4,与工一2y2比较系数得41, /J 顷杪//0, \xf Xj\xf Xj 4,即＜ , 因此，经过变换＜ , 后，直线x2y2变成直线2xy4. 板4y.4y 考点2 极坐标与直角坐标的互化［学生用书P215］ ［典例引领］ 例2 在极坐标系下，已知圆O 〃cos 〃sin Q和直线/少此寸一十卜平. 1 求圆。和直线I的直角坐标方程； 2 当。0,兀时，求直线,与圆。公共点的一个极坐标. 【解】1圆 O p cos 8sin 8,即 p2/cos 3psin 8, 圆。的直角坐标方程为x1y2xy,即x1y2xy0f直线/ 〃sin 8 乎，即〃sin 0 pcos 8 1, 则直线Z的直角坐标方程为yx\,即xyl0. x2y2xy0,|x0, 2由_得故直线/与圆。公共点的一个极坐标为1, V ［x-yl0〔yl,V2/ 极坐标与直角坐标互化的注意点 1在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯 2在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. ［通关练习］ 已知圆C的极坐标方程为p22皿，sin。一彳一40,求圆C的半径. ［解］以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为X轴的正半轴，建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为 -40, 化简，得p22psin 82/cos 840. 则圆C的直角坐标方程为x2y2-2x2y-40, 即 312 312 6, 所以 圆C的半径为*. 1. 2017-洛阳统考已知圆和圆仍的极坐标方程分别为p 2, p2_2W，cos 〃一壬| 2. 1 将圆Oi和圆仍的极坐标方程化为直角坐标方程； 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程. ［解］⑴由 p1 知“24,所以 _r2y24.因为 pcos。一号 2, 所以 p-2-2 pcos Ocos于sin Osin号 2.所以 x2y22.r2y2 0. 2将