高考数学总复习重6-13文科数列
06 (2)在等比数列杞仍中,若a n>0旦a 3(77 = 64,则a 5的值为 (A) 2(B) 4 (C) 6(D) 8 (14)在数列{环}中 若Oi = 1, an+i = an +2 (nNl),则该数列的通项』= (2) D(14) 2n-l 07 (I) 在等比数列{a“}中,c?2 = 8, ai = 64,,则公比q为 (A) 2(B) 3(C) 4(D) 8 (22)(本小题满分12分,其中(I )小问5分,(II )小问7分) 已知各项均为正数的数列{。见的前n项和S〃满足Sn>l,且 6Sn = (an + l)(a„ + 2) = 1,〃 e N. (I )求{。/的通项公式; (II) 设数列{bn}满足an(2“ -1)=1,并记L为{如}的前。项和,求证: 37 + l>llog2(Q〃 + 3),n e N. (1) A (22) ( I )解:由= S] = —(Q[ +1)(。] + 2),解得 Qi — 1 或。1 = 2,由假设 c/i=Si> 1, 6 因此0 = 2。 又由 c/n+i=Sn+i- Sn= —(an+i +l)(%+i + 2) = — (an +l)(i〃 +2), 66 得 On+i~ a〃-3 = ° 或 on+i=-on 因an>0,故an+1=-an不成立,舍去。 因此命十a汇3 = 0。从而{aj是公差为3,首项为2的等差数列,故{a〃}的通项为 an=3n-2o (II)证法一:由an(2b-1) = 1可解得 久=log』1 1 ) +—— % J 3n 3n-l 从而T„=Z,1+Z,2+. + ^=logz 因此3T„+l-logz(«„+3) = logJ| | 3n V 2 3n -1J 3n + 2 3n 3h-1 ,则 3n + 2 f(n + l) 3» + 2 (3n + 3?(3/1 + 3)3 f(“)3n+5 l0 ,故 f(n + l)>f(>0 • 27 特别的 f(n) >/(!)= —>lo 从而 3T,〔 +1 - log(fl„ +3) = log /(n)>0, 即 37; +l>log2(6/„ +3)。 证法二:同证法一求得如及*。 由二项式定理知当c>0时,不等式 (1 + c)3>1 + 3c 成立。 由此不等式有 3T„+l = log22ll + |j 11 + | 3 3〃 一 1 一 k 2) I C 5 8 log 2 2 2 4 >iog22|i+ii|i+iy|i+ 3〃 + 2 -——-=log。(3“ + 2) = logo (a„ + 3)。 3〃 一 1 证法三:同证法一求得如及Tno a .3 63〃_3 73〃 + l _5 8 3m+ 2 令4= 一 一 ••- —, Bn= — 一 ••- , G= — — ••- 2 5 3n4 63n 4 73h + 1 e 3n 、3〃 + 1、3〃 + 2 eh,八八 3〃 + 2 3n-l 3n 3n + l2 从而 3“1 =住2日!一凸“堕24; > log 2 2*“ C, = log 2 伽 + 2) = log 2 ( *7