线性代数期末练习1
一、填空 1. 设 A 是一阶方阵,且 |A | = 3,则(4?] ] A] ] + 4?]2 A]2)1 + (。21 A] 1 +。22人12)3 =• 2. 设向量a = (1,0,2,3), /3 = (-2,1-2,0),且a + 2” —3/ = 0,则向量/= . 3. 设三阶方阵A的特征值为1, 2, 3, E为3阶单位矩阵,则行列式I2A-£1=: 2 4 0、 4. 设矩阵人=130,则其逆矩阵A-*=. 、。0 3, ‘120、 5. 设矩阵人=2 0 -4的秩为2,贝!k= . 、-1 3 , 6. 设三阶矩阵A,B按列分块为/ = (%,%,%), 8 = (,2%伊),且|』=1,|列=-1, 则行列式\A - 2B\ =. 7. 设A为2x3矩阵,R(A) = 2 , %, %是线性方程组Ax =^>的解,且=(1,2,1), a: + a; = (1,-1,1),则 AX =b 的通解为. 二、单项选择 1. 设A、3、C都是〃阶方阵,下列结论中正确的是() (A) 若 AB = O ,贝= O或 3 = 0;(3)若 A3 = AC,且 An。,则 3 = C; (C)若 IA3l=0,贝 Ijl AI=0 或 131=0;(D) (A +B)2 = A2 +2AB + B2. 2. 若儿阶方阵A可逆,则下列结论恒成立的是() (A) (2A)-1 = 2A~ ;(B) (2A-1)r = 2(Ar)-1 ; (C) ((4「产尸=((4-1尸)「;(D) ((A-1)-1)1 =(ATy1 . 3. 设矩阵A = (a“, B = (A,)„x„,其中为是与的代数余子式(i,j=L 2,…,n),则 ( ) (A) 3是疽的伴随矩阵; (B) 3是A的伴随矩阵; (C) A是3的伴随矩阵;(D) 3不是疽的伴随矩阵. 4. 向量”可由向量组线性表示,则向量组B\ava^---,am,/3的秩(). (A)等于向量组A的秩;(B)大于向量组A的秩; (C)小于向量组A的秩; (D) 与向量组A的秩无关. 5. 设a,”是非齐次线性方程组(AE-A)x = b的两个不同解,则以下选项中是矩阵A对 应特征值人的特征向量为() (A) a + /3\(B) a-p-,(C) «;(D) /3. 6. 设A是〃阶方阵,且A2=2A,则未必有(). (A) A可逆; (B) A-E可逆;(C) A + E 可逆; (D)A-3E可逆. 7. 齐次线性方程组A„x„X=O有非零解的充要条件是() (A) A的行向量组线性相关 (C) A的行向量组线性无关 (B) A的列向量组线性相关 (D) A的列向量组线性无关 0、 1 ,求X. 4> 五、 设线性方程组为: *1 一 *2 + *3 + 3*4 = ° 2气-尤2 + 3勺 + 5*4 = 1 3气 - 2与 + 4勺 + 7% = 1 *1 + *2 + 3*3 一 *4 =力 问b为何值时,方程组有解,并求 1 2 • ・n-1 n + a 1 2• . (n -1) + a n 三、计算〃阶行列式:Dn = 1 2 +a • ・n-1 n 1 +。 2• ・n-1 n (3 四、设矩阵X满足关系AX=A + 2X,其中A= 0 I1 出其通解. 六、写出二次型f = 2.蚌+3必+3.“+4.知%的矩阵A,并求正交变换矩阵P,使 P AP = \为对角阵,并写出此对角阵A所对应的二次型(设新的二次型的变量为乂、 无、为)• 七、已知向量组al,a2,a3线性无关,问向量组= 2(z, +3(z2 , p2=a2 + 4(z,, “3=5%+%是否仍然线性无关?试说明理由.