中考数学复习指导:《二次根式》创新题赏析
《二次根式》创新题赏析 近年出现二次根式问题,不拘泥常规的形式,而表现为内容丰富、立意新颖、背景鲜 活,让人赏心悦目的创新题。下面介绍一些新背景下二次根式的新题型,并分类解析. 一、新定义运算问题 就是给出一个“规则”,然后根据所给的新规则进行判定、运算,从而达到解决问题的 目的. 例1给出一种运算:。*力=廊+」|,则2018*2=。 Hoi S 分析 根据。祐的意义,将2018*2转化为二次根式72018x2+ J^-,化简即得。 答案:3V1009 (求解过程略). 说明 对于这类新问题,解题时要仔细阅读所给运算法则,再按照对应元素的位置关系 将字母换成数,代入计算即可. 二、开放探究性问题 是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论,需要经过推断、补充并加以证明的 问题. 例2同学们玩过“24点”游戏吗?现给你一个无理数扼,你再找3个有理数,使它 们经过3次运算后得到的结果为24。请你写出一个符合要求的等式. 分析因为无理数扼参与运算,而计算结果是有理数,因此要将扼乘以0,或者(V2)“ 的指数〃是偶数. 解答案不唯一 如,^2x0 + 12x2 = 24 或(扼尸+4x5 = 24 说明 此题的条件和运算是开放的,它是条件开放题。另外,还有结论开放题、存在开 放题、方法开放题等. 三、二次根式意义的应用 根据二次根式的意义可知,二次根式的被开方数是非负数,同时二次根式也是非负数; 还要掌握二次根式表示无理数,以及表示有理数的条件. 例3 ⑴如果(2+扼尸=0+人扼(0”为有理数)那么。+ D等于() (A)2 (B)3 (C)8 (D)10 ⑵自然数n使得为整数,m是使j20〃z为整数的最小正整数.求 2. 分析⑴将(2+很)2展开,与a + b^2比较系数即可得到0,3的值.选D. (2)根据二次根式的意义,被开方数是非负数,由此可确定〃的范围,即n2)表示的等式并给出 证明. 分析 观察数与根号的关系及数的变化特征,猜想出结论,再利用阅读材料提供的验证 方法证明. 解⑴猜想:4、£= 0,于是令x = 1, y = 1,故原式=V25 x V1 4-^5 -^5 乙:原式=妒 •X2 • x x心 + x• (^5 •-y[y) = 5>/5xy . 从而得出不同的结果.请你指出甲、乙同学的作法是否正确?说明理由. 解甲、乙两同学的作法都不准确. 甲同学犯了特殊代替一般的错误. 乙同学将代数式在运算中的意义理解错了,它是一个整体,是除式. 正确的解法是: 原式=-\/52 • x2 • x x心 + (^5 • x• 4x • ^/y) = V5 . 说明这是一道通过阅读理解查找解题错误的纠错题,解题时要认真阅读题目提供的材 料,审查每一步的解答是否合理、有据、完整,判断是否正确,然后纠错,写出正确答案或 解题过程. 七、推理问题 例7计算 x ++ 乂 —寸—4 _x2(x>2)的值,其中 x = 2017.某同学把 “x = 2017” x-W -4 x + ^Jx- -4 错抄成“x = 2018“ .但是.他的计算结果是正确的.请你回答是怎么回事?试说明理由. 分析 根据题意将不同的x的值代入计算所得结果都是正确的,说明 / T X?的值与x无关,也就是化简后,不含有X,即结果是常数. x — \ x~ — 4 x + \ x~ — 4 所以代数式的值与x无关,如果计算正确,代入任何一个X〉2的数,计算结果都是-2. 说明 这类问题的解题思路是先化简,通过观察所得结果,解释题目中的“为什么”. 八、解决生活中的问题 这类问题是指有实际背景或实际意义的问题,由于它们来自生活和生产实践,所以它的 背景复杂,思维有一定的深度,方法灵活多样,解题难度较大. 例8同学们不知有没有留心观察过:有些鞋匠师傅钉鞋时,经常使用鞋钉的横截面的形 状并不是普通铁钉那样是圆形的,而是正方形,这是为什么? 分析 为了使鞋子被钉上之后更加牢固、就要求鞋钉与鞋底之间的摩擦力最大,这就需 要在不增加鞋钉重量的情况下,加大鞋钉与鞋底的接触面,反映在横截面上;即在不增加其 面积的前提下,使其周长更大些,因此应讨论相同面积的圆与正方形的周长的大小. 解设有边长为x的正方形与半径为r的圆的面积相等(单位相同),则有 X2 =兀户,所以x =插r. 从而有正方形周长为4x = 4插r (约等于7. 09 r); 圆的周长为2勿「(约等于6.