中考数学复习指导：《二次根式》创新题赏析

二次根式创新题赏析 近年出现二次根式问题，不拘泥常规的形式，而表现为内容丰富、立意新颖、背景鲜 活，让人赏心悦目的创新题。下面介绍一些新背景下二次根式的新题型，并分类解析. 一、新定义运算问题 就是给出一个“规则”，然后根据所给的新规则进行判定、运算，从而达到解决问题的 目的. 例1给出一种运算。*力廊」|,则2018*2。 Hoi S 分析 根据。祐的意义，将2018*2转化为二次根式72018x2 J-,化简即得。 答案3V1009 （求解过程略）. 说明 对于这类新问题，解题时要仔细阅读所给运算法则，再按照对应元素的位置关系 将字母换成数，代入计算即可. 二、开放探究性问题 是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的 问题. 例2同学们玩过“24点”游戏吗现给你一个无理数扼，你再找3个有理数，使它 们经过3次运算后得到的结果为24。请你写出一个符合要求的等式. 分析因为无理数扼参与运算，而计算结果是有理数，因此要将扼乘以0,或者（V2） 的指数〃是偶数. 解答案不唯一 如，2x0 12x2 24 或（扼尸4x5 24 说明 此题的条件和运算是开放的，它是条件开放题。另外，还有结论开放题、存在开 放题、方法开放题等. 三、二次根式意义的应用 根据二次根式的意义可知，二次根式的被开方数是非负数，同时二次根式也是非负数； 还要掌握二次根式表示无理数，以及表示有理数的条件. 例3 ⑴如果（2扼尸0人扼（0”为有理数）那么。 D等于（） A2 B3 C8 D10 ⑵自然数n使得为整数，m是使j20〃z为整数的最小正整数.求 2. 分析⑴将2很2展开，与a b2比较系数即可得到0,3的值.选D. 2根据二次根式的意义，被开方数是非负数，由此可确定〃的范围，即n8, 故自然数〃 0,1,2,3,4,5,6,7,8,只有〃 4,7,8时，卮成为整数. 由J丸扁为整数，又V20m VFx5 , ..m最小值为5. /. J-〃尸 J20m n 2Qm r 104/7 4 107/7 7 、108/7 8 说明1解题时要掌握问题中的隐含条件被开方数是非负数，以及。据b,c为有理 数为有理数的条件. 四、阅谈理解问题 解决这类问题的策略是要善于挖掘新知识的内涵和本质，并能够用旧知识合理解释新知 识，然后将“陌生”的知识转化为熟悉的知识. 例4阅读下列材料 2| 验证 I 2针对上述各式反映的规律，写出用为任意正整数，且n2表示的等式并给出 证明. 分析 观察数与根号的关系及数的变化特征，猜想出结论，再利用阅读材料提供的验证 方法证明. 解⑴猜想4、 4 ⑷4 4 442-1 4 42-1 证明4特 42-l 4 15 2针对上述各式反应的规律，可得 证明 说明 阅读题取材新颖，立意巧妙，解题时没有现成的模式可以套用，因此，只有在平 时加强这方面的练习，通过阅读给定的材料，弄清所给材料与要解决向题的联系，然后解决 相关问题. 五、估值问题 估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进行扩大或缩小，从而对运算结果确 定出一个范围，或作出一个估计， 例5设3 J7的整数部分是。，小数部分是Z,求1 a, b； 2aZ7-V7o 分析 先判定B的整数部分和小数部分，再确定3 J7的整数部分和小数部分. 解lv479 V4 V7 V9 即 2 V7 3 根据不等式的性质，得 23V7333 即 5736 因此3 J7的整数部分是。5 , 小数部分是。3V7-5 V7-2 2 a 5,力V7 2 代入 0/ V7得 原式5x77-2-77 _io. 说明⑴带有根号的数不一定是无理数.⑵要确定插的整数部分和小数部分，就要先分 析并判断该二次根式的被开方数是介于哪两个相邻的完全平方数之间，则该二次根式就介于 这两个相邻的完全平方数的算术平方根之间.在取其整数部分时，应取两相邻整数中较小的 整数值，然后用这个二次根式减去它的整数部分，就得到其小数部分. 六、判定正误问题 例6甲、乙两同学在化简序 x而时，采用了不同的方法 甲因为是二次根式的被开方数，且 在分母上，所以x 0, y 0,于是令x 1, y 1,故原式V25 x V1 4-5 -5 乙原式妒 X2 x x心 x 5 -y[y 5/5xy . 从而得出不同的结果.请你指出甲、乙同学的作法是否正确说明理由. 解甲、乙两同学的作法都不准确. 甲同学犯了特殊代替一般的错误. 乙同学将代数式在运算中的意义理解错了，它是一个整体，是除式. 正确的解法是 原式-\/52 x2 x x心 5 x 4x /y V5 . 说明这是一道通过阅读理解查找解题错误的纠错题，解题时要认真阅读题目提供的材 料，审查每一步的解答是否合理、有据、完整，判断是否正确，然后纠错，写出正确答案或 解题过程. 七、推理问题 例7计算 x 乂 寸4 _x2x2的值，其中 x 2017.某同学把 “x 2017” x-W -4 x Jx- -4 错抄成x 2018“ .但是.他的计算结果是正确的.请你回答是怎么回事试说明理由. 分析 根据题意将不同的x的值代入计算所得结果都是正确的，说明 / T X的值与x无关，也就是化简后，不含有X,即结果是常数. x \ x 4 x \ x 4 所以代数式的值与x无关，如果计算正确，代入任何一个X〉2的数，计算结果都是-2. 说明 这类问题的解题思路是先化简，通过观察所得结果，解释题目中的“为什么”. 八、解决生活中的问题 这类问题是指有实际背景或实际意义的问题，由于它们来自生活和生产实践，所以它的 背景复杂，思维有一定的深度，方法灵活多样，解题难度较大. 例8同学们不知有没有留心观察过有些鞋匠师傅钉鞋时,经常使用鞋钉的横截面的形 状并不是普通铁钉那样是圆形的，而是正方形，这是为什么 分析 为了使鞋子被钉上之后更加牢固、就要求鞋钉与鞋底之间的摩擦力最大，这就需 要在不增加鞋钉重量的情况下，加大鞋钉与鞋底的接触面，反映在横截面上;即在不增加其 面积的前提下，使其周长更大些，因此应讨论相同面积的圆与正方形的周长的大小. 解设有边长为x的正方形与半径为r的圆的面积相等（单位相同），则有 X2 兀户，所以x 插r. 从而有正方形周长为4x 4插r （约等于7. 09 r）; 圆的周长为2勿「（约等于6.