实际问题与一元一次方程(知识讲解)
--七年级数学上册3.4实际问题与一元一次方程学问讲解-- 备课老师:叶功 实际问题与一元一次方程(一)(基础)学问讲解 【学习目标】 1.娴熟驾驭分析解决实际问题的一般方法及步骤; 2.熟识行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】 学问点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为:问题方程解答.由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答. 要点诠释: (1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,找寻等量关系; (2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数; (3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时留意方程两边是同一类量,单位要统一; (4)“解”就是解方程,求出未知数的值. (5)“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,刚好指出,舍去即可; (6)“答”就是写出答案,留意单位要写清晰. 学问点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续) 1.和、差、倍、分问题 (1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率, 现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量. (2)找寻相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等. 2.行程问题 (1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 (2)基本类型有: ①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ.找寻相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追刚好间 Ⅱ.找寻相等关系: 第一, 同地不同时动身:前者走的路程=追者走的路程; 第二, 其次,同时不同地动身:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题:Ⅰ.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度, 逆流速度=静水速度-水流速度, 顺水速度-逆水速度=2×水速; Ⅱ.找寻相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑. (3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还经常借助画草图来分析. 3.工程问题 假如题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2)总工作量=各单位工作量之和. 4.调配问题 找寻相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑. 【典型例题】 类型一、和差倍分问题 1.2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米. 依题意,得5.8-x=3x+0.6 解得x=1.3 5.8-x=5.8-1.3=4.5(亿立方米) 答:生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米. 【总结升华】本题要求两个未知数,不妨设其中一个未知数为x,另外一个用含x的式子表示.本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量=5.8亿立方米. 举一反三: 【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台,第一个季度销售量是其次个季度的2倍.第三个季度销售量是第一个季度的2倍,试问麻商集团其次个季度销售冰箱多少台? 【答案】解:设其次个季度麻商集团销售冰箱x台,则第一季度销售量为2x台,第三季度销售量为4x台,依题意可得:x+2x+4x=2800, 解得:x=400 答:麻商集团其次个季度销售冰箱400台. 类型二、行程问题 1.一般问题 2.小山娃要到城里参与运动会,假如每小时走4千米,那么走完预订时间离县城还有0.5千米,假如他每小时走5千米,那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】 解:设小山娃预订的时间为x小时,由题意得: 4x+0.5=5(x-0.5),解得x=3. 所以4x+0.5=4×3+0.5=12.5(千米). 答:学校到县城的距离是12.5千米. 【总结升华】当干脆设未知数有困难时,可采纳间接设的方法.即所设的不是最终所求的,而是通过求其它的数量间接地求最终的未知量. 举一反三: 【变式】某汽车在一段坡路上来回行驶,上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时,求汽车的平均速度. 【答案】 解:设这段坡路长为a千米,汽车的平均速度为x千米/时,则上坡行驶的时间为小时,下坡行驶的时间为小时.依题意,得:, 化简得: . 明显a≠0,解得 答:汽车的平均速度为千米/时. 2.相遇问题(相向问题) 【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】 3. A、B两地相距100km,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地动身相向而行,甲的速度是23km/h,乙的速度是21km/h,甲骑了1h后,乙从B地动身,问甲经过多少时间与乙相遇? 【答案与解析】 解:设甲经过x小时与乙相遇. 由题意得: 解得,x=2.75 答:甲经过2.75小时与乙相遇. 【总结升华】等量关系:甲走的路程+乙走的路程=100km 举一反三: 【变式】甲、乙两人骑自行车,同时从相距45km的两地相向而行,2小时相遇,每小时甲比乙多走2.5km,求甲、乙每小时各行驶多少千米? 【答案】 解:设乙每小时行驶x千米,则甲每小时行驶(x+2.5)千米,依据题意,得: 解得: (千米) 答:甲每小时行驶12.5千米,乙每小时行驶10千米 3.追及问题(同向问题) 4.一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长,通讯员从学校动身,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【答案与解析】 解:设通讯员x小时可以追上学生队伍,则依据题意, 得, 得:, 小时=10分钟. 答:通讯员用10分钟可以追上学生队伍. 【总结升华】追及问题:路程差=速度差×时间,此外留意:方程中x表示小时,18表示分钟,两边单位不一样,应先统一单位. 4.航行问题(顺逆风问题) 5.一艘船航行于A、B两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时,已知水流速度是4千米/时,求这两个码头之间的距离. 【答案与解析】 解法1:设船在静水中速度为x千米/时,则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时,逆水航行的速度为(x-4)千米/时,由两码头的距离不变得方程:3(x+4)=5(x-4),解得:x=16, (16+4)×3=60(千米) 答:两码头之间的距离为60千米.