课时作业梯级练四十九立体几何的综合应用
课时作业梯级练四十九立体几何的综合应用 1. (2020 •新高考全国I卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD上底面ABCD,设平面PAD 与平面PBC的交线为1. p ⑴证明:1_L平面PDC; (2)已知PD=AD=1, Q为1上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 【命题意图】本题主要考查空间线面垂直关系及线面角的求解,考查空间想象力与基本计算能 力,体现了直观想象与逻辑推理的核心素养. 【解析】⑴因为PD_L底面ABCD, ADc 平面 ABCD,所以 PD±AD. 又底面ABCD为正方形, 所以 AD _L DC,又 DC D PD=D, DC, PDc 平面 PDC, 所以AD_L平面PDC. 因为 AD〃BC, ADC 平面 PBC, BCc 平面 PBC, 所以AD〃平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为I,可得I 〃AD.因此I _L平面PDC. (2)以D为坐标原点,DA 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1), DC =(0, 1,0), PB =(1, 1,-1). 由⑴可设 Q (a,0,1),则 DQ =(a,0,1), 设n= (x, y, z)是平面QCD的一个法向量, (n ・ DQ=0, 贝 J In • DC=0, ax + z = 0, 即[y = 0. 可取 n= (-1,0, a). n • PB 所以 cos n, PB -1-a y/3-y/l+a2 设PB与平面QCD所成角为e, 则sin “爽 3 1。+1| x , 1+。2 因为乎11 + 2a a2+l ,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正 V6 弦值的最大值为一 3 2.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,AD〃BC, AB±BC, AB=V3 , BC=2AD=2, E 为 CD 的中点,PB^AE. ⑴证明:平面PBD_L平面ABCD; n (2)若PB=PD, PC与平面ABCD所成的角为一,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN± 4 平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由四边形ABCD是直角梯形,AB=V3 , BC=2AD=2,AB±BC,可得DC=2, ZBCD=- , 3 从而ABCD是等边三角形,BD=2, BD平分ZADC. 因为E为CD的中点,所以DE=AD=1,所以BD±AE,又因为PB_LAE, PBDBD=B,所以AE1■平面PBD. 又因为AEc平面ABCD,所以平面PBD±平面ABCD. (2)在平面PBD内作PO±BD于0,连接0C, 又因为平面PBD±平面ABCD,平面PBDA平面ABCD=BD,所以P0_L平面ABCD. 所以ZPC0为PC与平面ABCD所成的角,则ZPC0=^ ,所以由题意得0P=0C=>/3 ,因为 4 PB=PD, P0±BD,所以0为BD的中点,所以0C±BD. 以0为原点,分别以0B, 00, 0P所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0, 0),C(0, V3 ,0),D(-1,0,0),P(0,0, V3 ), p\ xy 假设在侧面PCD内存在点N,使得BNJ■平面PCD成立, 设 PN 二入 PD + 口 PC (入,口,0,入+ 口 W1), 由题意得 N (- A., V3U , _V3( X + n -1)), BN = (- X -1, V3 U,-V3 (X + H-1)), PC =(0,V3 ,-V3 ), PD =(-i,0,-V3 ), (BN • PC= 09 由(BN ・ PD=O , 3“ + 3 (A + //-I) = 0, 得< A + 1 + 3 (A + “-1) = 0, 12 解得入二M , 口二; ,满足题意,即存在点N,使得BNJ■平面PCD,所以点N到平面ABCD的距离 为-(入+口-1)二亨^ 4D CE 1 3.等边MBC的边长为3,点D,E分别是AB, AC上的点,且满足房=-=~ (如图⑴), 将AADE沿DE折起到AAiDE的位置,使二面角Ai-DE-B成直二面角,连接AiB, A】C (如图(2)). 图⑴ 图(2) ⑴求证:AiD±平面BCED; (2)在线段BC上是否存在点P,使直线PAi与平面AiBD所成的角为60° ?若存在,求出PB的长; 若不存在,请说明理由. 【解析】(1)题图(1)中,由已知可得: AE=2, AD=1,A=60° . 从而 de=JI2 + 22-2 x 1 x 2 x cos60° =V3 故得 ad2+de2=ae2, 所以 AD±DE, BD±DE. 所以题图⑵中,A,D±DE, BD± DE, 所以ZA,DB为二面角Ai-DE-B的平面角, 又二面角Ai-DE-B为直二面角, 所以 ZA,DB=90°,即 A,D±DB, 因为 DE Cl DB=D 且 DE, DBc 平面 BCED, 所以AiD±平面BCED. (2)存在.由⑴知ED±DB, A,D±平面BCED. 以D为坐标原点,分别以射线DB, DE, DA,为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系, 如图, 过P作PH/7DE交BD于点H, 设 PB=2a(0W2aW3), 则 BH=a, PH=V3 a, DH=2-a, 易知 A, (0,0, 1),P(2-a, V3 a,0),E(0, V3 , 0), 所以 PAj =(a-2,-V3 a, 1).因为 ED_L平面 ABD, 所以平面AiBD的一个法向量为DE =(0, y/3, 0). 因为直线PA】与平面A,BD所成的角为60° , I PA: • DEI ♦■q /7、} 2s 所以 sin 60。# PA」I DEI 二一=—,解得 a=- ZL 24 4q2.4q+5x 够 5 所以PB=2a=- ,满足0W2aW3,符合题意. 2 5 所以在线段BC上存在点P,使直线PA】与平面ABD所成的角为60° ,此时PB=-. 2 4.如图,在等腰梯形ABCD中,ZABC=60° , CD=2, AB=4,点E为AB的中点,现将该梯形中的三角 形EBC沿线段EC折起,形成四棱锥B-AECD. ⑴在四棱锥B-AECD中,求证:ADXBD; (2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120° ,求直线AE与平面ABD所成角的正弦 值. 【解析】 ⑴由三角形BEC沿线段EC折起前,ZABC=60° ,CD=2,AB=4,点E为AB的中点,得三 角形BEC沿线段EC折起后,四边形AECD为菱形,边长为2, ZDAE=60°,如图, 取EC的中点F,连接DF,