课时作业梯级练四十九立体几何的综合应用

课时作业梯级练四十九立体几何的综合应用 1. 2020 新高考全国I卷如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD上底面ABCD,设平面PAD 与平面PBC的交线为1. p ⑴证明1_L平面PDC; 2已知PDAD1, Q为1上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 【命题意图】本题主要考查空间线面垂直关系及线面角的求解，考查空间想象力与基本计算能 力，体现了直观想象与逻辑推理的核心素养. 【解析】⑴因为PD_L底面ABCD, ADc 平面 ABCD,所以 PDAD. 又底面ABCD为正方形， 所以 AD _L DC,又 DC D PDD, DC, PDc 平面 PDC, 所以AD_L平面PDC. 因为 AD〃BC, ADC 平面 PBC, BCc 平面 PBC, 所以AD〃平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为I,可得I 〃AD.因此I _L平面PDC. 2以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则 D0,0,0,C0,1,0,B1,1,0,P0,0,1, DC 0, 1,0, PB 1, 1,-1. 由⑴可设 Q a,0,1,则 DQ a,0,1, 设n x, y, z是平面QCD的一个法向量， n ・ DQ0, 贝J In DC0, ax z 0, 即［y 0. 可取 n -1,0, a. n PB 所以 cos n, PB -1-a y/3-y/la2 设PB与平面QCD所成角为e, 则sin “爽 3 1。1| x , 1。2 因为乎11 2a a2l ,当且仅当a1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正 V6 弦值的最大值为一 3 2.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,AD〃BC, ABBC, ABV3 , BC2AD2, E 为 CD 的中点,PBAE. ⑴证明平面PBD_L平面ABCD; n 2若PBPD, PC与平面ABCD所成的角为一，试问在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN 4 平面PCD”若存在，求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由四边形ABCD是直角梯形,ABV3 , BC2AD2,ABBC,可得DC2, ZBCD- , 3 从而ABCD是等边三角形，BD2, BD平分ZADC. 因为E为CD的中点，所以DEAD1,所以BDAE,又因为PB_LAE, PBDBDB,所以AE1■平面PBD. 又因为AEc平面ABCD,所以平面PBD平面ABCD. 2在平面PBD内作POBD于0,连接0C, 又因为平面PBD平面ABCD,平面PBDA平面ABCDBD,所以P0_L平面ABCD. 所以ZPC0为PC与平面ABCD所成的角，则ZPC0 ，所以由题意得0P0C/3 ，因为 4 PBPD, P0BD,所以0为BD的中点，所以0CBD. 以0为原点，分别以0B, 00, 0P所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 B1,0, 0,C0, V3 ,0,D-1,0,0,P0,0, V3 , p\ xy 假设在侧面PCD内存在点N,使得BNJ■平面PCD成立, 设 PN 二入 PD 口 PC （入，口，0,入 口 W1）, 由题意得 N - A., V3U , _V3 X n -1, BN - X -1, V3 U,-V3 X H-1, PC 0,V3 ,-V3 , PD -i,0,-V3 , BN PC 09 由BN ・ PDO , 3“ 3 A //-I 0, 得＜ A 1 3 A “-1 0, 12 解得入二M , 口二； ，满足题意，即存在点N,使得BNJ■平面PCD,所以点N到平面ABCD的距离 为-（入口-1）二亨 4D CE 1 3.等边MBC的边长为3,点D,E分别是AB, AC上的点，且满足房- （如图⑴）， 将AADE沿DE折起到AAiDE的位置，使二面角Ai-DE-B成直二面角，连接AiB, A】C （如图（2））. 图⑴ 图2 ⑴求证AiD平面BCED; 2在线段BC上是否存在点P,使直线PAi与平面AiBD所成的角为60 若存在，求出PB的长; 若不存在,请说明理由. 【解析】1题图1中，由已知可得 AE2, AD1,A60 . 从而 deJI2 22-2 x 1 x 2 x cos60 V3 故得 ad2de2ae2, 所以 ADDE, BDDE. 所以题图⑵中,A,DDE, BD DE, 所以ZA,DB为二面角Ai-DE-B的平面角， 又二面角Ai-DE-B为直二面角， 所以 ZA,DB90，即 A,DDB, 因为 DE Cl DBD 且 DE, DBc 平面 BCED, 所以AiD平面BCED. 2存在.由⑴知EDDB, A,D平面BCED. 以D为坐标原点，分别以射线DB, DE, DA,为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 如图， 过P作PH/7DE交BD于点H, 设 PB2a0W2aW3, 则 BHa, PHV3 a, DH2-a, 易知 A, 0,0, 1,P2-a, V3 a,0,E0, V3 , 0, 所以 PAj a-2,-V3 a, 1.因为 ED_L平面 ABD, 所以平面AiBD的一个法向量为DE 0, y/3, 0. 因为直线PA】与平面A,BD所成的角为60 , I PA DEI ♦■q /7、｝ 2s 所以 sin 60。 PA」I DEI 二一，解得 a- ZL 24 4q2.4q5x 够 5 所以PB2a- ，满足0W2aW3,符合题意. 2 5 所以在线段BC上存在点P,使直线PA】与平面ABD所成的角为60 ,此时PB-. 2 4.如图，在等腰梯形ABCD中，ZABC60 , CD2, AB4,点E为AB的中点，现将该梯形中的三角 形EBC沿线段EC折起，形成四棱锥B-AECD. ⑴在四棱锥B-AECD中，求证ADXBD; 2若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120 ,求直线AE与平面ABD所成角的正弦 值. 【解析】 ⑴由三角形BEC沿线段EC折起前，ZABC60 ,CD2,AB4,点E为AB的中点，得三 角形BEC沿线段EC折起后，四边形AECD为菱形，边长为2, ZDAE60，如图， 取EC的中点F,连接DF,