课时作业梯级练六十二圆锥曲线中的探究性问题
课时作业梯级练六十二圆锥曲线中的探究性问题 基础落实练—■ ( 20分钟4()分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1. (2020 •北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 () A. 4B. 5C. 6D. 7 【解析】选A.由题意,圆心到点(3,4)的距离为1,所以圆心到原点的距离的最小值为 V32 + 42-i=4. 22 2. 已知椭圆E: 5=1,设直线/: y=kx+l(keR)交椭圆E所得的弦长为Z.则下列直 a 4 线中,交椭圆e所得的弦长不可能等于Z的是() A. 成好_/+应=0B.y一田=0 C. mx~y~l = 0D. mx~y~2 = 0 【解析】选D.当直线/过点(一1, 0),取m=-\,直线/和选项A中的直线重合,故排除A; 当直线/过点(1, 0),取〃= — 1,直线/和选项B中的直线关于*轴对称,被椭圆£截得的 弦长相同,故排除B: 当#=0时,取/77=0,直线/和选项C中的直线关于X轴对称,被椭圆f■截得的弦长相同,故 排除C; 直线/的斜率为#,且过点(0, 1),选项D中的直线的斜率为m,且过点(0, —2),这两条 直线不关于x轴、“轴和原点对称,故被椭圆£所截得的弦长不可能相等. 3. 双曲线a 12/-4/=1上有两个点D, E,满足直线彩和徵的斜率之积为1,则判断1 OE2 + 1的值() A. 不是定值,与点〃,E在双曲线上的位置有关 B. 是定值,这个定值为12 C. 是定值,这个定值为8 D. 是定值,这个定值为4 【解析】选c.设直线勿的斜率为用〃点横坐标为x〃,显然kr 土* , 联立• 12V-4/=1, r 21 y=kx 待为=^F, ——2 1+4 OE k r =12〃一4 12-4-7 k OD = | 勿『=(1+於)=〔;兰,2, 1 + 1 =J+J=8 __L_ 1+A2 十 1+A2 OD2 OE X V 4. (2019 •株洲模拟)点*为椭圆音+万=l(a>5)的-个焦点,若椭圆上存在点』使 成(。为坐标原点)为正三角形,则椭圆的离心率为() A妇 A. 2 C. - D.吏-1 【解析】选B.由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c, 0),因为为正三角形,则点侦,乎c g 3廿3e 在椭圆上,代入得=,即1 e =4, 得占=4—2寸5 ,解得e=y/^ —1. 5. (2020 •全国III卷)设双曲线C~-^-=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为P a2 b2 是C上一点,且F1P±F2P.若/^耻2的面积为4,则a=() A. 1B. 2C. 4D. 8 [解析】选 A.设 PFi=m, PF2=n, m>n, SAp/r1/^=~nin=4, m-n=2a, m2+n2=4c2, e=—=VS,所以 a=l. 二、填空题(每小题5分,共15分) 22 X V 6. (2020 -沈阳模拟)已知椭圆才+y =1的左、右焦点分别为F\, F2,过3的直线A与过3 的直线l交于点泌 设彤的坐标为G),贝),若za/2,则下列结论序号正确的有. 2222 + 学 1,+y 1. 【解析】巧(一1, 0), 6(1, 0),因为 U, M耳・M3 =0,所以(一1—Xo) X (1 — Ab) + (―贝)X (―贝)=0,即 X: +U —1 , 〃在圆x+y=y上,它在椭圆的内部, 22 故十 +专~ V1,故①正确,②错误; Xi/3X412x v 。到直线;+q =1的距离为一匚一=—>1, 0在直线顶+- =1的下方,故圆x+y = \在 45□□4 o 其下方,即号+莺x; + yQ =1, 故④成立. 答案:①③④ 22 X V 7. 已知。为坐标原点,双曲线Q - —丁 =l(a>0, 6>0)的左、右焦点分别为Fi,民,以 a b 班为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点0, P,记双曲线。的左顶点为必若APMF2 = ZP&M, 则双曲线。的渐近线方程为. 【解析】依题意,圆的方程为 2 +T, 不妨设点P在第一象限, 2 +T 2 解得 x=J,而 zpmf2=zpf2m, c 2 a c— ac 故一==-,解得一 =2, cla 故 = a 即所求渐近线,方程为*= 士欢X. 答案:y=±\[3 x 22 x V 8. 已知椭圆丁 +— =1上有三个不同的点4 B, T: O C,其中』,3关于坐标原点对称,设直线 AC,网的斜率都存在时,它们的斜率之积为定值, 这个定值为. C(X2, y2), 【解析】由题意可设点4(xi, yi), B(—xi, —*1), 22 G ,*1—外—*1—乃* 一巧 贝 I KAC • kBC=*——~ , Xi — X2— Xi — X2Xi —X2 22222222 凡 *1x2 y2.凡一所 % —巧 因为3- +亏 =1,-厂 +亏 =1,所以两个式子相减得—— +—-— =o, ―y y1・ 以 所 所以 kAc ・ kBc=. 答案:一j 素养提升练一«( 15分钟3()分) 1. 在平面直角坐标系xOy中,直线/和椭圆。—+y = 1交于4 3两点,关于问题:“是 否存在直线Z,使弦的垂直平分线过椭圆。的右焦点”的答案是() A. 不存在任何直线Z,满足条件 B. 只存在垂直于x轴的直线/,满足条件 C. 存在不垂直于x轴的直线/,满足条件 D. 存在直线/: y=x,满足条件 【解析】选B.设刀%,以),83,询,48的中点为P3,贝),椭圆C的右焦点为F(2吏, 0), (1)当直线,垂直于x轴时,由椭圆的对称性可得贝=0,此时弦48的垂直平分线为x轴,经 过右焦点,满足条件. r 2. - 2- %1 +9* =9 (2)设直线,的斜率为k(kVO),直线 斤的斜率为〃,贝叫22, 庆 +9*2 =9 所以(X1—X2)(X1 + X2) +9(*1—*2)(*i+%)=o, E .,*L〃2X1+X2 所以 k__ 一 o z I \ Xi — X2 9 (*1 十乃) =X。 , _ yo 9贝,xo—2yf2, 所以 kk =* 厂、=—1, 9 3 —2彖) 9\/2 即 4 住(—3, 3), 所以不存在有斜率的直线/满足条件. 综上所述,只存在垂直于x轴的直线满足条件. 2. 直线/: y=kx+m与椭圆E:孚+亭=1相交于A, 8两点,与直线工=一4相交于。点, P是椭