课时分层作业30直线与平面垂直
课时分层作业(三十)直线与平面垂直 (建议用时:60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1. 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个 底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A. 相交B.平行 C.异面D.相交或平行 B [由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.] 2. 已知直线。与平面a所成的角为50。,直线b//a,则力与a所成的角等 于() A. 40° B. 50° C. 90° D. 150° B [根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知力与a所成的角也是 50°.] 3. 直线/与平面a内的无数条直线垂直,则直线Z与平面a的关系是() A. I和平面a相互平行 B. /和平面a相互垂直 C. /在平面a内 D. 不能确定 D [如下图所示,直线/和平面a相互平行,或直线/和平面a相互垂直或 直线/在平面a内都有可能.故选D.] 4.如图所示,aC&=l,点 A, C^a,点 B&/3,且 BA±a, BC±/3,那么直 线/与直线AC的关系是() A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 C [ :BA±a, aC/3=l, IF :.BAM. 同iS.BC±l.MBACBC=B, :.l±平面 ABC. •「ACU 平面 A3C, A l±AC.] 5. 三棱锥的三条侧棱两两相等,则顶点在底面的射影为底面三角形的() A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 C [如图,设点P在平面ABC内的射影为0,连接Q4, OB, 0C. :三棱锥的三条侧棱两两相等,:.PA = PB = PC. VP0± 底面 ABC, :.POLOA, P0L0B, P0L0C, :.RtAPOA^RtAPOB^RtAPOC, :.OA=OB=OC, 故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.] 二、填空题 6. 已知AFL平面ABCD, DEL平面ABCD,如图所示,5. AF=DE, AD =6,贝I] EF=. 6 [因为AF±平面ABCD, QE上平面A8CQ,所以A”〃/)E,又AF=DE, 所以AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.] 7. 如图,△ABC是直角三角形,ZACB=90°, 上平面ABC,此图形中 有 个直角三角形. 4 [ :FA±^-^ ABC, :.PALAC, PALAB, PALBC, :AC±BC, SLFAHAC =A, :.BCL平面必C, :.BCLPC.综上知: AABC, △田C, ^PAB, APBC 都是直角三角形,共有4个.] 8. 如图所示,AB是。。的直径,PALQO所在的平面,。是圆上一点,且 ZABC=3Q°, PA=AB,则直线PC与平面A3C所成角的正切值为. 2 [因为平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以 ZPCA即为PC与平面ABC所成的角.在AABC中,AC=^AB=^PA,所以 tanZPCA=日厂=2.] 三、解答题 9. 如图,四边形ABCD为矩形,平面ABE, F为CE上的点,且初』 平面ACE.求证:AELBE. [证明]VAD±平面 ABE, AD//BC, .3口平面 ABE. 又 AEC 平面 ABE, :.AELBC. VBF±平面 ACE, AEC平面 ACE, :.AE±BF. 又 VBFC 平面 BCE, BCU 平面 BCE, BF「BC=B, :.AE1.平面 BCE. 又 BEU 平面 BCE, :.AE±BE. 10.如图,在边长为2的菱形A3CD中,ZABC=6Q°, PCl^ABCD, PC=2, E, F分别是中和A3的中点,求中与平面也。所成角的正弦值. [解] 过A作AHLBC于H,连接PH, :PC±平面 ABCD, AHU平面 ABCD, :.PC±AH,义 PC「BC=C, :.AHL平面 PBC. :.ZAPH为理与平面PBC所成的角, 在边长为2的菱形ABCD中,ZABC=6Q°, :.AABC为正三角形,又AHLBC, :.H 为 BC 中点、,AH=$, :PC=AC=2, :.FA = 2\[2, AH V6 smZAPH=~^7~= A . /ya q 故E4与平面PBC所成角的正弦值为* [等级过关练] 1.空间四边形A3CD的四边相等,则它的两对角线AC, BD的关系是() A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 C [取 3D 中点 0,连接 AO, CO,贝0 BD±AO, BDLCO, :.BDL平面 AOC, BD±AC,义 BD、AC 异面,.•.选 C.] 2.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB, BC, CD, D4的长和两条对角 线AC, 3D都相等,且E为AD的中点,F为BC的中点,则直线况和平面ADF 所成的角的正弦值为 J5 % [连接EF,根据题意,BC±AF, BC±DF. :AFHDF=F, :.BO.平面 ADF . ZBEF是直线BE和平面ADF所成的角, 设 BC=2,则 BF=1, BE=y[3, sin ZBEF= D