课时跟踪检测(二十八)双曲线及其标准方程
课时跟踪检测(二十八)双曲线及其标准方程 [A级基础巩固] 1. 已知平面上定点Fi,『2及动点肱,命题甲:\\MFi\-\MF2\\=2a(a^J常数),命题乙: 点M的轨迹是以队,刊为焦点的双曲线,则甲是乙的() A. 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 详细分析:选B 根据双曲线的定义,乙=甲,但甲=/乙,只有当2aJ|PFi|-|PF2|=±10,解得\PF2\= 22 或 2. 3. 如图,已知双曲线的方程为芹一若=1«>0, 5,点4, B均在双曲线的右支上, 线段48经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,Fi为双曲线的左焦点,则△A8R的周长为() A. 2a+2mB. 4a+2m C. a~\~mD. 2a+4m 详细分析:选 B 由双曲线的定义,知|AFi|-|AF2|=2a, |BFi|-|BF2|=2a.又IAF2I+IBF2I =\AB\9 所以△ABFi 的周长为 |AFi|+ \BFi\+ \AB\=4a+2\AB\=4a+2m. 22 4.(多选)已知方程岩+左=1表示的曲线为C.给出以下四个判断,其中正确的是 ( ) A. 当14; C正确,若曲线。为焦点在x轴上的椭圆,则4一玲,一1>0, lvr4. /—1>0, 5.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为Fi(—辱 0),点P在该双曲线上, 线段PF1的中点坐标为(0, 2),则该双曲线的标准方程为() A x2 2 A・彳_寸=1 B. X2—^-=1 导¥=1 X2 V2 D —— — 1 “3 2 1 详细分析:选B 设双曲线的标准方程为方一苏=1(0>0, 6>0),则c=y[5f即a2+b2 =5 .① 设P(x, y),由线段PF1的中点坐标为(0, 2), “—艰+ x 2=°, ,得 也=2, x=g, )=4, 即点P的坐标为廉,4), 代入双曲线方程,得牛=1.② 联立①②,得砂=1,方2 = % 即双曲线的标准方程为*2—十=1.故选B. 6.设双曲线弓一[=1的左、右焦点分别为Fi,F2,过-的直线/交双曲线左支于4, B两点,则\BF2\+\AF2\的最小值为. 详细分析:由双曲线的标准方程号一十=1得0=2,万=皿・由双曲线的定义可得IAF2I -|AFi| = 4, |BF2|-|BFi|=4,所以\AF21-|AFi| + \BF21-|BFi| = 8.因为|AFi|+|BFi|=|AB|, 当直线,过点F1,且垂直于X轴时,|AB|最小,所以(|AF2l + |8F2l)min=|AB|min + 8=¥+8 = 10. 答案:10 7.经过点P(—3, 2寸j)和一7)的双曲线的标准方程是 详细分析:设双曲线的方程为mx2+ny2=l(mn两顶点.若A8=4, BC=3,则此双曲线的标准 方程为- 详细分析:设双曲线的标准方程为方一去=l(a>0,》>0).由题意 得 8(2, 0), C(2, 3), 4=a2+b2, 4 9 解得. k林=L «2=1, 〃=3, 双曲线的标准方程为*一§=1 答案:X2 —:=1 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) a=2辱经过点4(2, -5),焦点在y轴上; 22 (2) 与椭圆打+赤=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4. 解:⑴因为双曲线的焦点在y轴上, 所以可设双曲线的标准方程为右一乎=l(a>0, /»0). 由题设知,a=2\[5,且点4(2, —5)在双曲线上, a=2y[59 所以0, 6>0), a2=4, b2=5. 42_(V15)2_ 则 2=32, 22 故所求双曲线的标准方程为十一 §=1. 10. 如图,在△ABC中,已知|48|=4皿,且三内角A, B, C满足2sin A+sin C=2sin B, 建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程. AB 解:以A8边所在的直线为x轴,48的垂直平分线为丁轴,建立>[c 平面直角坐标系,如图所示,则A(~2y[2, 0), 8(2寸i, 0).由正弦定\ 理,得 sinA=g#, sin 5=^4^, sin C=^4^(l?为△ABC 的外接圆半 LK.LK.ZK 径). V2sin A+sin C=2sinB, :.2\BC\+\AB\=2\AC\,即\AC\~\BC\=^=2yf20), \*a=y[2, c=2y[29 *.b2=c2—a2=6. 即所求轨迹方程为斗一七=l(x>y[2)・ 乙 o [B级综合运用] 11. 设月,『2是双曲线写一“=1的两个焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为 2时,扉•朋的值为() A. 2B. 3 B. 4D. 6 详细分析:选B 设点P(xo,刘),依题意得|『函|=2好鬲=4, SAPFiF2=||FiF2| •[yol 2 =2, .•.腕|