课时跟踪检测（二十八）双曲线及其标准方程

课时跟踪检测（二十八）双曲线及其标准方程 [A级基础巩固] 1. 已知平面上定点Fi,『2及动点肱，命题甲\\MFi\-\MF2\\2a（aJ常数），命题乙 点M的轨迹是以队，刊为焦点的双曲线，则甲是乙的（） A. 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 详细分析选B 根据双曲线的定义，乙甲，但甲/乙，只有当2a\FiF2\且 时，动点M的轨迹是双曲线. 2. 双曲线芸一1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（） A. 22 或 2B. 7 C. 22D. 2 详细分析选A a225, .a5.设点为P,双曲线的左、右焦点分别为肉，F2, 由双曲线定义可得||FFi|-|PF2ll10.由题意设|PFi|12, J|PFi|-|PF2|10,解得\PF2\ 22 或 2. 3. 如图，已知双曲线的方程为芹一若10, 5，点4, B均在双曲线的右支上， 线段48经过双曲线的右焦点F2,|AB|m,Fi为双曲线的左焦点，则△A8R的周长为（） A. 2a2mB. 4a2m C. a\mD. 2a4m 详细分析选 B 由双曲线的定义，知|AFi|-|AF2|2a, |BFi|-|BF2|2a.又IAF2IIBF2I \AB\9 所以△ABFi 的周长为 |AFi| \BFi\ \AB\4a2\AB\4a2m. 22 4.（多选）已知方程岩左1表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中正确的是 （ ） A. 当1Z4时，曲线。表示椭圆 当4或rvi时，曲线。表示双曲线 C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1姥 D. 若曲线C表示焦点在［轴上的双曲线，则4 详细分析选BCD A错误，当时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则 4一。Llvo, .・”vl或4; C正确，若曲线。为焦点在x轴上的椭圆，则4一玲，一10, lvr|； D正确，若曲线。为焦点在y轴上的双曲线，则， 4rvo, .4. /10, 5.已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为Fi辱 0,点P在该双曲线上, 线段PF1的中点坐标为0, 2,则该双曲线的标准方程为 A x2 2 A・彳_寸1 B. X2-1 导1 X2 V2 D 1 “3 2 1 详细分析选B 设双曲线的标准方程为方一苏100, 60,则cy［5f即a2b2 5 .① 设Px, y,由线段PF1的中点坐标为0, 2, 艰 x 2， ,得 也2, xg, 4, 即点P的坐标为廉，4, 代入双曲线方程，得牛1.② 联立①②，得砂1,方2 即双曲线的标准方程为*2十1.故选B. 6.设双曲线弓一［1的左、右焦点分别为Fi，F2,过-的直线/交双曲线左支于4, B两点,则\BF2\\AF2\的最小值为. 详细分析由双曲线的标准方程号一十1得02,万皿・由双曲线的定义可得IAF2I -|AFi| 4, |BF2|-|BFi|4,所以\AF21-|AFi| \BF21-|BFi| 8.因为|AFi||BFi||AB|, 当直线，过点F1,且垂直于X轴时，|AB|最小，所以|AF2l |8F2lmin|AB|min 88 10. 答案10 7.经过点P3, 2寸j和一7的双曲线的标准方程是 详细分析设双曲线的方程为mx2ny2lmn0, 9m28n l, 72/w49w l, -_ _ 759 1 259 故双曲线的标准方程为 8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A, 8为左、右焦 点，且双曲线过C, 两顶点.若A84, BC3,则此双曲线的标准 方程为- 详细分析设双曲线的标准方程为方一去la0,0.由题意 得 82, 0, C2, 3, 4a2b2, 4 9 解得. k林L 21, 〃3, 双曲线的标准方程为*一1 答案X2 1 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a2辱经过点42, -5,焦点在y轴上； 22 2 与椭圆打赤1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解⑴因为双曲线的焦点在y轴上, 所以可设双曲线的标准方程为右一乎la0, /0. 由题设知，a2\[5,且点42, 5在双曲线上, a2y[59 所以 25 4 解得’ Ik 次20, b216. y2 乂2 故所求双曲线的标准方程为去诟1 22 2椭圆若土 1的两个焦点为Fi0, -3, F20, 3,双曲线与椭圆的一个交点为邙, 4或-V15, 4. 22 设双曲线的标准方程为春一乔l（a0, 60）, a24, b25. 42_（V15）2_ 则 次一朋-，解得. ,a2Z232, 22 故所求双曲线的标准方程为十一 1. 10. 如图，在△ABC中，已知|48|4皿，且三内角A, B, C满足2sin Asin C2sin B, 建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. AB 解以A8边所在的直线为x轴，48的垂直平分线为丁轴，建立[c 平面直角坐标系，如图所示，则A（2y[2, 0）, 8（2寸i, 0）.由正弦定\ 理，得 sinAg, sin 54, sin C4（l为△ABC 的外接圆半 LK.LK.ZK 径）. V2sin Asin C2sinB, .2\BC\\AB\2\AC\,即\AC\\BC\2yf2\AB\. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）. 由题意，设所求轨迹方程为方一方l（x0）, \*ay[2, c2y[29 *.b2c2a26. 即所求轨迹方程为斗一七l（xy[2）・ 乙 o [B级综合运用] 11. 设月，『2是双曲线写一1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为 2时，扉朋的值为（） A. 2B. 3 B. 4D. 6 详细分析选B 设点P（xo,刘），依题意得|『函|2好鬲4, SAPFiF2||FiF2| [yol 2 2, ..腕|