课时跟踪检测(二)共线向量与共面向量
课时跟踪检测(二)共线向量与共面向量 [A级基础巩固] 1. 下面关于空间向量的说法正确的是() A. 若向量a, b平行,则a, b所在直线平行 B. 若向量a, b所在直线是异面直线,则a, b不共面 C. 若A, B, C,。四点不共面,贝!I向量1章,布不共面 D. 若4, B, C, D四点不共面,贝!I向量疝,AC,祁不共面 详细分析:选D我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内,因此 空间任意两个向量都是共面的,故B、C都不正确.由向量平行与直线平行的区别,可知A 不正确.因为AB, AC, AD是空间中共端点A但不共面的三条线段,所以向量海,AC, 郎不共面. 2. 下列条件中,使肱与A, B, C一定共面的是() A. OM=2OA - OB- OC bJom^^oa +|ob +^oc C.M4 + MB + MC=0 d^om+^oa+^ob+~oc=o 详细分析:选c C选项中,~MA = -MB-MC, .•.点M, A, B, C共面. 3. 已知点肱在平面ABC内,并且对空间任意一点O,04 + jOB +|OC, 则x的值为() A. 1B. 0 C. 3D.j 详细分析:选 D ^~OM=xOA +^OB +joC, 且M, A, B, C四点共面, .,.x+:+;=l, ,*.x=|,故选 D. 4. 平面a内有五点A, 8, C, D, E,其中无三点共线,O为空间一点,满SJOA=^OB +xOC+yOD, ~OB = 2xOC +| OD +yOE,则 x+3j 等于() C.|D.: 详细分析:选B由点A, B, C, 共面得x+j=|, 2 又由点B, C, D, E共面< 2x+y=y 联立方程组解得*=*, J=|, 7 所以 x+3j=g. 5. 若空间中任意四点O, A, B, P满^OP=mVA+t^OB,其中m+n=l,贝!|() A. PG直线AB B. P4直线AB C. 点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上 D. 以上都不对 详细分析:选A 因为m+n=l9所以m=l—n9 所以7)p=(l-“)布+11OB , 即=n(OB—~OA), 即~AP=nAB,所以矛■与海共线. 又京,吊■有公共起点A, 所以P, A, B三点在同一直线上, 即PW直线AB. 6. 已知空间向量ei, e2不共线,则使*ei+e2与ei+A®2共线的4的值是. 详细分析:若fcei+e2, ei+Ae2共线,则Aei+e2=4(ei+Ae2),又由e” e2不共线, k=人, 得, 解得k=±l. 4 4=1, 答案:±1 7. 设ei, e2是空间两个不共线的向量,已知~AB=2ei+ke2, ~CB=ei+3e2, ~CD = 2ei-e2,且A, B, £>三点共线,贝以=. 详细分析:由已知#= CD - CB = (2ei-e2)-(61+3e2)=ei~4e2, “:A, B, D 三 点共线,/. AB 与苗共线,即存在 A GR,使得~AB =1BD.:.2ei + ke2=l(ei-4e2) =^ei 4 =2 -4ie2.Vei, e2不共线,Al 解得 k=-S. k=—419 答案:一 8 8. 有下列命题: ① 若击〃布,则A, B, C, £>四点共线; ② 若2#〃京,则A, B, C三点共线; ③ 若ei, e2为不共线的非零向量,a=4ei—|e2, b=—ei+^e2>则3〃1); ④ 若向量ei, e2, e3是三个不共面的向量,且满足等式&©+蜘2+知3=0,则心= ^2 —fa —0. 其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上). 详细分析:根据共线向量的定义,若瀚〃布,贝 ]AB//CD或A, B, C,。四点共 线,故①错; 因为前〃京且疝,京有公共点A,所以②正确; 2 由于a=4ei—ge2=—4b,所以a〃b.故③正确; 易知④也正确. 答案:②③④ 9. 对空间任一点。和不共线的三点A, B, C,若有关系^OP=7)A+2AB+2AC, 求证:点P与点A, B, C共面. 证明:法一:由已知 -7)A =2AB+2AC, 即 ~AP=2AB+2AC. 因为A, B, C三点不共线, 所以2#,京不共线. 由向量共面的充要条件知点P与点A, B, C共面. 法二:由已知^^OP=~dA+2(OB-~OA)+2(O^-7)A), 即击=-3OA+2OB +2OC. 由于A, B, C三点不共线,且一3+2+2=1, 故点P与点A, B, C共面. 10. 如图,已知肱,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACZ)的重% 心,G为AM上一点,且GM : GA=1 : 3.求证:B, G, N三点共线. 证明:设=a, AC =b, AD =c, 则 AM= AB +^x|(BC + BD) =AB+|(BC + BD) =AB+|(AC-AB + AD-AB) =|(AB +AC + AO) =|(a+b+c), ——>• , —>• —>• . 3—>, BG = BA + AG = BA +^AM 1311 = -a+4(a+b+c)=-^a+^b+^c, B2V = BA + A2V = BA +j(AC + AD) 114 =—a+^b+^c^BG, :JBN //~BG. 又 BNHBG=B, :.B, G, N 三点共线. [B级综合运用] 11. 若 P, A, B, C 为空间四点,且^~PA=aPB+fiPC,贝!l a+fl=l M A, B, C 三点共线的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 详细分析:选 C 若 a+A=l,则~PA~~PB =p(PC~ PB), ^~BA=fiBC,显然,A, B, C三点共线;若 A, B, C三点共线,则有~AB=1BC, i^PB-~PA = A (PC~~PB\ 整理得由=(1+人)诙■一人市令a=l+/l, B = f 则a-\-p=\,故选C. 1 ° 12. 已知A, B, C三点不共线,0是平面ABC外任意一点,若由~OP=jOA+^OB + 人况确定的一点P与A, B, C三点共面,贝!M=. 详细分析:根据P, A, B, C四点共面的条件,知存在实数x, j, z,使^lOP=xOA [22 +yOB +zOC成立,其中x+j+z=l,于是g+与+人=1,所以人=话・ 答案:普