课时跟踪检测(十二)基本不等式的应用
课时跟踪检测(十二)基本不等式的应用 [A级基础巩固] 1.若一4VxVl, X2—2x+2 则Fk A.有最小值1 C.有最小值一 1 B.有最大值1 D.有最大值一1 ,X2—2x+2 1「/ 八. 1 详细分析:选 D —- - —=s(X —1)+丁_[ 又 V-40, y>0且x+y=4,则下列不等式中恒成立的是() A. ] >4B. x+y 4x y C 而 W2D,—^1 详细分析:选 BC 若 x>0, j>0,由 x+y=4, #-^7=7,故 A 错误;^+^=|(x+ x I y 4x y % J)Q+=|(2+^+^)X(2+2)=1,当且仅当x=y=2时,等号成立,故B正确;因为 x>0, j>0, x+j=4, JL x+y^2y[xy9 所以/知W2,故 C 正确;因为y[j^W2,所以 x〉W4, 详细分析:选B虫+虹七以+也=尝+也=2+史+令2+2“,当且 x y x y x y x y 1- 4 N 1- Q 以 所 当且仅当x=v=2时,等号成立,所以D错误. 3.若实数”,b满足打+/=y[^,则沥的最小值为() A.^2 B. 2 C. 2y[2 详细分析:选C D. 4 由题意,得 a>0, b>0.y[ab=~+^^2, 巨=碧 当且仅当虹2 ab y[ab9a b 时等号成立,:.ab^2y[2. 4.正实数x, y满足x+y=l,则中+。的最小值是() * y A. 3+2也B. 2+2皿 仅当卒=专时等号成立. x y 5.某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足 够长),其他三边需要砌新的墙壁,若使砌墙所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单 位:m)() A. 32, 16B. 30, 15 C. 40, 20D. 36, 18 详细分析:选A 要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设堆料场宽为xm, 则长为m ,因此新墙总长L = 2x +(x > 0), L = 2x +N 2 —2X512 = 64(当且仅当2*=平,即宽为16,长为32时等号成立)故选A. 、h,何“ (x+1) (2v+l) ,» „ r +、. 6.设 x>0, j>0, x+2y=5f 贝!I=的最小值为. 、¥ Am 八 q (x+1) (2j+l) 2xy+x+2y+l 2xy+6( i— ] 3、. 详细分析:—扁—=—=号=2(面+在>2X 2-^y[xy , -^==4\[3,当且仅当 xj=3, x+2j=5,即 x=3, y=l 或 x=2, >=§时等号成 立.故所求的最小值为 答案:4^3 7. 已知x>0, j>0,且满足号+%=1,则胡的最大值为,取得最大值时y的 值为. 详细分析:因为x>0,)>0,且1=三+与>2-\/^,所以当且仅当即 3 x=5,J=2时取等号. 答案:3 2 8. 已知不等式3+刃任+《)、9对任意正实数x, j恒成立,则正实数a的最小值为 详细分析:不等式(x+j»)Q+^^9对任意正实数x,7恒成立,则(x+j)Q+^^(l+V«)2 N9, :.y[a^2,即aN4,故正实数a的最小值为4. 答案:4 9.已知x, y, z为正数且满足X—2j+3z=0,求%的最小值. x+3z —、,、,七~ ,v2 x2+9z2+6xz 解:由x—2j+3z=0,何y= —.因为x, y, z为正数,所以土=7~= 、仁+牛+6)》、»邕反+6)=3,当且仅当x=3z时,等号成立.所以『的最小值为 4 X /\ \1 Z X JXZ 3. 10. (2021-曲阜一中月考)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它 的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元, 顶部每平方米造价20元.试求: (1)仓库面积S的取值范围是多少? (2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? 解:⑴设正面铁栅长x m,侧面长为y m,总造价为z元,贝 J z=40 x+2X45j+20 xj =40 x+ 90j+20 xj,仓库面积 S=xj. 由条件知 zW3 200,即 4x+9y+2x_yW320. ,/x>0, j>0, .14x+9yN2寸4x・9y=12面(当且仅当4x=y时,等号成立). .6V5+SW160,即(VS)2+6VS-16O^O. .OV^WIO, .(XSWIOO.故 S 的取值范围是(0, 100]. 20 (2)当 S=100 m2 时,4x=9j,且 xj=100.解得 x=15, 7=耳・ 当S取到最大允许值100 m2时,正面铁栅长15 m. [B级综合运用] 11. 已知正数a,方满足a+b=2ab,则2a+6b的最小值为() A. 6B. 4+^3 C. 10D. 4+2^3 详细分析:选D 因为a+b=2ab,所以~+t=2,所以2a+6方=Q+9(a+3方)=1+〃 +?+3》4+2勺§,当且仅当”=“广1, b=*}3时取等号.故选D. 12. 志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边d C CD上,AE=CE, AB>AD,矩形的周长为8 cm./ (1)设AB=xcm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范*B 围; (2)计划在△4OE区域涂上蓝色代表星空,如果要使的面积最大,那么应怎样设 计队徽的长和宽. 解:⑴由题意可得AI>=(4-x)cm,且x>4-x>0,可得2VxV4. 则 CE=AE=x~DE,在 RtAADE 中,AE2=AD2+DE2, Q 即(x-DE)2=(4~x)2+DE2,化简得 Z)F=4--(2