高中数学复习函数的值域与最
§2. 3函数的值域与最值 【高考要求】 1、掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最 值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法。 2、求函数最大、最小值问题历来是高考热点,这类问题的出现率很高,应用很广。 因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力。因函数的 最大、最小值求出来了,值域也就知道了.反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的 最大或最小值也等于求出来了。 【知识点归纳】 一、函数值域的定义:函数的值域是指函数值的集合。函数的值域取决于函数的定义域和 对应法则,不论采用何种方法求函数的值域都应先考虑其定义域。 二、常见的基本初等函数的值域: 1、y = kx + b[k)的值域:R。 2、y = ax2 +bx + c[a ^0)的值域: 4-dC — (1)当。〉0 时,值域:[,+00); 4。 4-cic — Z?? (2)当 QV0 时,值域:(—00,]。 4。 3、y =—{k 0)的值域:|y|y e 7?, y 0| o JC 4、y = q,(q > 0且q 壬 1)的值域:(0,+oo)。 5、y =log。尤(。> 0且。壬1)的值域:R o 6、y = sin x,y = cos x 的值域:[一1』]。 7、y = tanx,y = cot x 的值域:R o 三、求值域与最值的常用方法: 1、分析观察法:有些函数的结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观 察得出函数的值域与最值。 2、配方法:二次函数或能转化为形如:F (x) = a[f (x)]~+Z?低)+ c型的函数的值域 或最值,均可用配方法。但要注意结合二次函数的图像以及f(x)的取值范围。 3、不等式法:利用均值不等式a + b> 2y[ab{a >O,Z?>O),a + Z? + c >3y/abc (a〉0力〉0,c〉0)以及它们的变形,可以求某些函数的的值域与不等式,但要注意“一 正、二定、三相等”的条件。 4、判别式法:把函数转化为关于x的二次方程F(x,y) = O,通过方程有有实根,判别式 A>0,从而求得原函数的值域与最值,形如y=时2 +姒+ 4(“2不同时为零)的 a2x +b2x + c. 函数的值域与最值常用此法求得。 M : (1)函数的定义域应为R;若不为R要注意讨论。(2)分子分母没有公因式。(3) 要注意二次方程中二次项的系数,只有二次项系数非零时,才能使用判别式。 5、反解法:(1)利用反函数的定义域和原函数的值域的关系,通过反函数的定义域而得 到原函数的值域与最值;(2 )若函数解析式中含有有范围的一个函数表达式,比如含有 sin x,cos.r等,那么通过反解出这个表达式,然后根据这个表达式的范围建立起一个关于 ux + d y的不等式,从而求出原函数的值域。形如)=(a 0)的函数值域可用此法。 ax + b 6、分离常数法:形如y =顷) ’ (后0)的函数值域可将分子上的表达式分解为分母的表 ax + b 达式然后和分母约分,保证分子只剩下常数,最后借助尤的范围求出分母的范围,从而求 出原函数的值域的方法称为分离常数法。 7、换元法:运用代数或三角换元,将所给函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求 得原函数的值域与最值。形如:y = + Jcx + d (a,b,c,d,均为常数且ac。0)的函 数常用此法求值域。 M : (1)“新元”的取值范围,即换元前后的等价性;(2)换元后的可操作性。 8、单调性法:如能确定函数在定义域上的单调性,则可利用单调性求出值域与最值。形 如:y = qx + b + J ex + d (ci,b,c,d,均为常数且 qc〉0)或 y = Qx + b — Jcx + d (a,b,c,d,均为常数且。(k0)的单调性可以确定,故可用单调性求其值域。 9、数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助几何方法或图像来求函数的值域与最值。 10、导数法:利用导数与函数的连续性求较复杂函数的极值和最值,然后求出值域。 四、有关恒成立的一组命题: 设函数/*(工)存在最大值M与最小值用,人为待求参数。 1、若对定义域内的任一尤,都有2 > /(x)恒成立,则有2 > M ; 2、若对定义域内的任一尤,都有2 < /(x)恒成立,则有2 < m ; 3、若存在气,使得/(工0)24恒成立,则有2