高中数学复习函数的值域与最

2. 3函数的值域与最值 【高考要求】 1、掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最 值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法。 2、求函数最大、最小值问题历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广。 因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力。因函数的 最大、最小值求出来了，值域也就知道了.反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的 最大或最小值也等于求出来了。 【知识点归纳】 一、函数值域的定义函数的值域是指函数值的集合。函数的值域取决于函数的定义域和 对应法则，不论采用何种方法求函数的值域都应先考虑其定义域。 二、常见的基本初等函数的值域 1、y kx b［k）的值域R。 2、y ax2 bx c［a 0）的值域 4-dC （1）当。〉0 时,值域［,00）； 4。 4-cic Z （2）当 QV0 时,值域（00,］。 4。 3、y {k 0）的值域|y|y e 7, y 0| o JC 4、y q，（q 0且q 壬 1）的值域（0,oo）。 5、y log。尤（。 0且。壬1）的值域R o 6、y sin x,y cos x 的值域［一1』］。 7、y tanx,y cot x 的值域R o 三、求值域与最值的常用方法 1、分析观察法有些函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观 察得出函数的值域与最值。 2、配方法二次函数或能转化为形如F （x） a[f （x）]Z低） c型的函数的值域 或最值，均可用配方法。但要注意结合二次函数的图像以及f（x）的取值范围。 3、不等式法利用均值不等式a b 2y[ab{a O,ZO）,a Z c 3y/abc （a〉0力〉0,c〉0）以及它们的变形，可以求某些函数的的值域与不等式，但要注意“一 正、二定、三相等”的条件。 4、判别式法把函数转化为关于x的二次方程F（x,y） O,通过方程有有实根，判别式 A0,从而求得原函数的值域与最值，形如y时2 姒 4（2不同时为零）的 a2x b2x c. 函数的值域与最值常用此法求得。 M （1）函数的定义域应为R;若不为R要注意讨论。（2）分子分母没有公因式。（3） 要注意二次方程中二次项的系数，只有二次项系数非零时，才能使用判别式。 5、反解法（1）利用反函数的定义域和原函数的值域的关系，通过反函数的定义域而得 到原函数的值域与最值；（2 ）若函数解析式中含有有范围的一个函数表达式，比如含有 sin x,cos.r等，那么通过反解出这个表达式，然后根据这个表达式的范围建立起一个关于 ux d y的不等式，从而求出原函数的值域。形如）（a 0）的函数值域可用此法。 ax b 6、分离常数法形如y 顷） ’ （后0）的函数值域可将分子上的表达式分解为分母的表 ax b 达式然后和分母约分，保证分子只剩下常数，最后借助尤的范围求出分母的范围，从而求 出原函数的值域的方法称为分离常数法。 7、换元法运用代数或三角换元，将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求 得原函数的值域与最值。形如y Jcx d （a,b,c,d,均为常数且ac。0）的函 数常用此法求值域。 M （1）“新元”的取值范围，即换元前后的等价性；（2）换元后的可操作性。 8、单调性法如能确定函数在定义域上的单调性，则可利用单调性求出值域与最值。形 如y qx b J ex d （ci,b,c,d,均为常数且 qc〉0）或 y Qx b Jcx d （a,b,c,d,均为常数且。（k0）的单调性可以确定，故可用单调性求其值域。 9、数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助几何方法或图像来求函数的值域与最值。 10、导数法利用导数与函数的连续性求较复杂函数的极值和最值，然后求出值域。 四、有关恒成立的一组命题 设函数/*工存在最大值M与最小值用,人为待求参数。 1、若对定义域内的任一尤，都有2 /x恒成立，则有2 M ; 2、若对定义域内的任一尤，都有2 /x恒成立，则有2 m ; 3、若存在气，使得/工024恒成立，则有2M ; 4、若存在J,使得f*o4恒成立，则有2 m o 【基础自测】 第10、11课双基再现 【题型讲解】 例1、求下列函数的值域 2 _ 1 y 、2 y 2尤 -1 - J13 4/ 3 y 4 9-x2 x x 1 4 y ,x e [-3,-11 5 y 一 6 y log. x logx 3-1 4x 2 L J/ 2-cosx63 7 y xa/8-2x20 x 2 8 y -9 y 2x2 H■ ,x g0,oo Vx22x 216x 练习1、求下列函数的值域 1 3, 4 y 3、l y x lx A 0 x ,-、2 - sin x 2 y 2 sin x , 、 3x 5yA x 4 3 y x-yjl-2x x25 X24 7 y Vx24 a/x22x 10 例 2、已知函数fx l-2ax-a2xal, 1求函数f x的值域；2若xe[-2,l]时，函数/的最小值为-7,求q的值并 求函数f 工的最大值。 练习 2、已知 /（x） 2 leg3x,xg ［1,9］,求函数y ［/*（尤）］2 /（子）的值域。 例3、强口 /x log2x 1,当且仅当点x,y在y /x的图像上时，点 V g尤的图像上。 1求y g x的解析式；2 求使/尤 g 尤的］的范围; 3在2的范围内，求y g尤 /*尤的最大值。 例4、f 尤是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件 1对于任意的 x, y g 7,有/xy /x /y; 2 当尤〉0 时，/ 0 ,且/*1 一2。 求函数/在［-3,3］上的最大值和最小值。 例5、若函数/x -x2 -x a的定义域和值域均为［1,/］/ 1,求Q,/的