高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中导数与函数知识点总结归纳 一、基本概念 1. 导数的定义: 设X。是函数y = /(x)定义域的一点,如果自变量x在X。处有增量Ax ,则函数值y也引起相应的增量 △y= /■Cr0+Ax-)-/(A-0);比值Ay = /(Ao+Ar)-/(-ro)称为函数),= (了)在点易到心+k之间的平均变化 AxAx 率;如果极限lim = lim /(Xo+Ax)-/(^O)存在,则称函数> = /(*)在点%处可导,并把这个极限叫做 Ax 顶 Ax Ax->0Ax y = y(x)在Xo处的导数。 f⑴在点工。处的导数记作y |f = JU)=『3“方E) 2导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程) 函数V =在点知处的导数的几何意义就是曲线y = /(x)在点(xq, /(x))处的切线的斜率,也就是说,曲 线^ = 7*3)在点户3o,f(x))处的切线的斜率是广(尤0),切线方程为^-此=广(工)3-尤0)・ 3.基本常见函数的导数: ①C = 0; (C为常数)②(妒) =*七 (3) (sin x)r = cos x ;④(cos x)f = - sin x ; (S)(exy = ex\®(dx)f = ax Ina ; ⑦(lnx) =L;⑧(logfl x) =-logfl e. XX 二、导数的运算 1. 导数的四则运算: 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即:[尸⑴土g(x)] = f (x)土g (x) 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:[/■(x)・g(x)] =/ (x)g(x) + / (x)g (x) 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:(Cf(x)) = Cf \x\ (C为常数) 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: f(x)].,(》)欢》)一六》)8 (,£(工)/0). g(x) [g(x)T 2. 复合函数的导数 形如y = /[^(x)]的函数称为复合函数。法则:f [0(x)] = f (〃)*0‘(x). 三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数 (1) 设函数y = f(x)在某个区间(a,。)可导, 如果/ (x) >0,则/(x)在此区间上为增函数; 如果/ (x) 0,右侧/ (x) f(b)的值;③比较端点及极值点处的函数值的大 小,从而得出函数的最值。 4. 相关结论总结: ① 可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ② 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、函数的概念 1.函数的概念 ① 设A、3是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A中任何一个数x,在集合3中都有唯 一确定的数/(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A , 3以及A到3的对应法则f)叫做集合A到B 的一个函数,记作/: A->B. ② 函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③ 只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 五、函数的性质 1.函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值X1、X2,当Xl 0) X ③ 对于复合函数y =,令z/ = g(x),若y = y(“)为增, y=/Ig(。为增;若y = f(力为减,u = g(x)为减,则 y = /《d为增;若为增,“ = g(x)为减,则:y= f[ g(x)j为减;若 2& y = y(“)为减,u - g(x)为增,则 y = /lg(x)]为减. (2)打“函数/(x) = x + — (a > 0)的图像与性质 X y(x)分别在(-<»,—扃]、[西,+8)上为增函数,分别在[-扃,0)、(0,4a]上为减函数. 2. 最大(小)值(较常用导数求函数最值,类比记忆函数的极值) ①一般地,设函数y = f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xel,都有/(x) < M ■ (2)存在xoel,使得/(x0) = M .那么,我们称M是函数/(x)的最大值,记作f^x^M . ②一般地,设函数y = /(x)的定义域为],如果存在实数m满足:(1)对于任意的x&I,都有 (2)存在气e I,使得/(x0) = m .那么,我们称m是函数/(%)的最小值,记作/max (x) = m . 3.奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内 任意.一个X,都有f( —x)= — “功,那么函数典i)叫做啻尊 数. y -a (a, f (a)) 二 (1) 利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2) 利用图象(图象 关于原点对称) J (-a, f (-a)) o ax 如果对于函数f(x)定义域内 任意一个X,都有f(yx)=f(X), 那么函数f(x)叫做俱巧数. y (-