高中数学导数与函数知识点归纳总结

高中导数与函数知识点总结归纳 一、基本概念 1. 导数的定义 设X。是函数y /x定义域的一点，如果自变量x在X。处有增量Ax ,则函数值y也引起相应的增量 △y /■Cr0Ax--/A-0；比值Ay /AoAr-/-ro称为函数,了在点易到心k之间的平均变化 AxAx 率；如果极限lim lim /XoAx-/O存在，则称函数 /*在点％处可导，并把这个极限叫做 Ax 顶 Ax Ax-0Ax y yx在Xo处的导数。 f⑴在点工。处的导数记作y|f JU『3方E 2导数的几何意义求函数在某点处的切线方程 函数V 在点知处的导数的几何意义就是曲线y /x在点xq, /x处的切线的斜率，也就是说，曲 线 7*3在点户3o，fx处的切线的斜率是广尤0，切线方程为-此广工3-尤0・ 3.基本常见函数的导数 ①C 0; C为常数②妒*七 3 sin xr cos x ;④cos xf - sin x ； Sexy ex\dxf ax Ina ; ⑦lnxL；⑧logfl x -logfl e. XX 二、导数的运算 1. 导数的四则运算 法则1两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差， 即[尸⑴土gx] fx土gx 法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即[/■x・gx]/xgx /xgx 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数Cfx Cf \x\ C为常数 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方 fx].，欢一六8，工/0. gx [gxT 2. 复合函数的导数 形如y /［x］的函数称为复合函数。法则f［0x］ f〃*0‘x. 三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数 1 设函数y fx在某个区间a,。可导， 如果/ x 0,则/x在此区间上为增函数； 如果/ x 0,则/x在此区间上为减函数。 2 如果在某区间内恒有f x 0 ,则fx为常函数。 2. 函数的极点与极值当函数fx在点地处连续时， ① 如果在X。附近的左侧f\x 0,右侧/x 0,那么/x0是极大值； ② 如果在X。附近的左侧f \x 0,右侧f \x 0,那么yx0是极小值. 3. 函数的最值 一般地，在区间［a,A］上连续的函数/在［a,A］上必有最大值与最小值。函数 f⑴ 在区间［a］上的最值只可能在区间端点1及婀 取■ 求函数/在区间［a,b］上最值 的一般步骤①求函数/x的导数，令导数fx 0解出方程的跟 ②在区间［a,b］列出,/, /的表格，求出极值及/a fb的值;③比较端点及极值点处的函数值的大 小，从而得出函数的最值。 4. 相关结论总结 ① 可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ② 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、函数的概念 1.函数的概念 ① 设A、3是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ,对于集合A中任何一个数x,在集合3中都有唯 一确定的数/x和它对应，那么这样的对应包括集合A , 3以及A到3的对应法则f叫做集合A到B 的一个函数，记作/ A-B. ② 函数的三要素定义域、值域和对应法则. ③ 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 五、函数的性质 1.函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值X1、X2,当Xl尊2时，都 有fXif x2,那么就说 fx在这个区间上是增再数. yfX f 匕 1 利用定义 2 利用已知函数的 单调性 3 利用函数图象在 某个区间图 象上升为增 4 利用复合函数 0 x,x2X 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值X1、X2,当Xi X2时，都 有fXifx2,那么就说 fx在这个区间上是演勇数. J yfx 1 利用定义 2 利用已知函数的 单调性 3 利用函数图象在 某个区间图 象下降为减 4 利用复合函数 0 X,X2X ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数, 增函数减去一个减函数为增函数, 减函数减去j个增函数为减函数. gx为增，则 /jr x a 0 X ③ 对于复合函数y ,令z/ gx,若y y为增, y/Ig。为增；若y f力为减，u gx为减，则 y /d为增；若为增, gx为减，则y f[ gxj为减；若 2 y y为减，u - gx为增，则 y /lgx］为减. 2打函数/x x a 0的图像与性质 X yx分别在-,扃］、［西,8上为增函数，分别在［-扃,0、0,4a］上为减函数. 2. 最大小值较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值 ①一般地，设函数y fx的定义域为/,如果存在实数M满足1对于任意的xel，都有/x M ■ 2存在xoel,使得/x0 M .那么，我们称M是函数/x的最大值，记作fxM . ②一般地，设函数y /x的定义域为］,如果存在实数m满足1对于任意的xI,都有 2存在气e I,使得/x0 m .那么，我们称m是函数/的最小值，记作/max x m . 3.奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数fx定义域内 任意.一个X,都有f x “功，那么函数典i叫做啻尊 数. y -a a, f a 二 1 利用定义要先 判断定义域是否关于 原点对称 2 利用图象图象 关于原点对称 J -a, f -a o ax 如果对于函数fx定义域内 任意一个X,都有fyxfX, 那么函数fx叫做俱巧数. y -