选修21圆锥曲线期末复习学案
圆锥曲线复习 【知识点总结】 1、三种圆锥曲线的定义: 椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。动点在运动变化过程中,保 持某种“距离”不变。 椭圆:平面内与两个定点耳,E的距离 等于常数(一―于|鸟互|)的点的轨迹叫做椭 圆。即:\PFl\+\PF2\ = 2a>2c = \FlF2\ (a>0, c>0, a, c为常数),则P 点 的轨迹为以 为焦点的椭圆。 注意:若2。= |鸟句时,点P的轨迹为。若00, a, c为常 数),则P点的轨迹为以 为焦点的双曲线. 注意:若2a = \F}F^\时,点P的轨迹为 o若2。>|鸟句时,点P的轨迹 。若2。= 0时,点P的轨迹是.另外,定义中的 必不可少. 抛物线:平面内到定点F与到定直线/距离 的点的轨迹。(其中F宏1) 注意:若Fel,则P点的轨迹为» 2、三种圆锥曲线的标准方程: 椭圆:双曲线: 2222 —7+七■ = l(a〉人〉0),焦点在x轴上;一;—七■ = l(a > 0, Z? > 0),焦点在x轴上; a“b‘a“b“ 椭圆 焦点的位置 焦点在X轴上 焦点在y轴上 图形 十 V ¥ 1 标准方程 范围 xe ye x e ye 顶点 轴长 长轴的长=,短轴的长= 焦点 焦距 对称性 准线方程 离心率 双曲线 焦点的位置 焦点在X轴上 焦点在y轴上 图形 AM “Vi/ Tyv —r 标准方程 范围 x e x e y £ 顶点 轴长 实轴的长=,虚轴的长= 焦点 焦距 对称性 准线方程 离心率 渐近线方程 抛物线 标准方程 图形 fc a 顶点 对称轴 焦点 准线方程 通径 离心率 范围 4、参数的几何意义: 椭圆:a>b>0, a2=b2+c2,其中 最大。焦点总在长轴上. 双曲线:c~ =a2+b\ 其中 最大。焦点总在实轴上。 当a=b时,为 双曲线。其离心率是—,渐近线为,相互。 5、离心率 椭圆:e = f = 1 —二 e(O,l)。 a V a 离心率可以描述椭圆的形状。当e趋近于1时,椭圆越;当e趋近于0时,椭圆越 双曲线:e = - a 离心率可以描述双曲线开口的大小。e越大,开口就越。 抛物线:e = l。抛物线的开口大小可以由 来描述。通径越长,开口越 6.双曲线的渐近线 .替换即可得出渐近线方程. 把标准方程二一当= l(a>0, &>0)中的“1”用 a b bX2 v2 以y = 土一x为渐近线(即与双曲线——% = 1共渐近线)的双曲线方程为 aa2 b- 【典型例题】 例1、求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程: (1)«= V5 , c=l 的椭圆 22 (2)以椭圆1- —— = 1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线 169 144 (3)一条准线为y=2,离心率为0.5的椭圆 例2、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为20,离心率为丑,经 3 过其左焦点耳的直线/交椭圆C于F、。两点. (I)求椭圆C的方程; (II)在x轴上是否存在一点M ,使得恒为常数?若存在,求出M点的坐标和 这个常数;若不存在,说明理由. 例3已知椭圆G 号+云=1 (a>^>0)的离心率为且经过点Ah |). (1)求椭圆。的方程;(2)设尸是椭圆。的左焦点,判断以所为直径的圆与以椭圆长 轴为直径的圆的位置关系,并说明理由. 例4设*, R分别为椭圆C:「+与=1 (a罚>0)的左、右焦点,过凡的直线/与椭 a b 圆C相交于A, B两点,直线/的倾斜角为60 ,已到直线/的距离为2右. (1) 求椭圆C的焦距; (2) 如果AF,=2F,B,求椭圆C的方程. 例5已知双曲线的中心在原点,焦点R, R在坐标轴上,离心率为也,且过点M4,一寸布). (1) 求双曲线方程; (2) 若点M3,沥在双曲线上,求证:丽•丽=0; 求涵的面积. —H2 =] 例6.已知椭圆。b (a>b>0)的离心率为3 ,以原点为圆心。椭圆短半轴长半 径的圆与直线y=x+2相切, (I )求a与b; (II)设该椭圆的左,右焦点分别为况和直线过旦且与X轴垂直,动直线右与y 轴垂直,‘2交4与点p求线段pFl垂直平分线与‘2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。 22万 例7.设椭圆亳+ % = l,(a>》〉0)的左右焦点分别为耳,凡,离心率e = —,右准线 a b2 为/,是/上的两个动点,F\M• F2N = 0I (I) 若何肱卜|割|=2打,求。,力的值;j一 证明:当|MV|取最小值时,F.M + F.N与共线。 【课后练习】 V13. 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是 14. 过点(2,4)作直线与抛物线寸=8工只有一个公共点,这样的直线有― 15. 过抛物线寸=4x的焦点作直线交抛物线于AU,yi), B3,乃)两点,如果对+龙=6,那么 AB= 2 16. 直角坐标系xoy中,已知三角形ABC的顶点A (-4, 0)和C (4, 0),顶点B在椭圆—+ ^ = 1 25 9 r m sin A + sin C 上,则——;= smB V21 1. 若椭圆一」+」一=1的离心率£=一,则如 k+492 22 2. 已知方程+旦二=1A), m -1 2 - m (1) 若该方程表示椭圆,则m的取值范围是; (2) 若该方程表示双曲线,则其焦点坐标为 3. 若椭圆x2+my2= 1的离心率为g,则它的长半轴长为. 4. 双曲线的渐近线方程为x±2y = 0,焦距为10,这双曲线的方程为 5. 椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则离心率n 22 6. 已知方程=1表示双曲线,则A的取值范围是 1+k 1-k 7 .抛物线的准线方程是 8. 椭圆X2 +4y2 =16上的点到直线x-2y』=0的最大距离是 9. 若抛物线y = |x2的顶点是抛物线上距离点4(0,«)最近的点,则a的取值范围为 22 10. 设双曲线二一% = l(a〉0,b〉0)的右焦点为F,右准线/与两渐近线交于P、Q两点, a b 如果APQF是直角三角形,则双曲线的离心率是 22 11. 双曲线二一