高中数学平面解析几何知识点梳理
平面解析几何 1. 直线的倾斜角与斜率: (1) 直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与X轴相交的直线,如果把X轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为(Z叫做直线的倾斜角. 倾斜角a e[O,l80P), «= 90°斜率不存在. (2)直线的斜率:k = _ (%] x2), k = tana . (, y,) > P2(x-,,y2)). x2 - xl 2. 直线方程的五种形式: (1) 点斜式:y -= k(x - )(直线/过点6(知口),且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为工=气. (2) 斜截式:y = kx + b仍为直线/在y轴上的截距). (3) 两点式: —― = —— (_Yi a ,%, ^ %->) • %_乂 工2一七 一 注:① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线; ② 方程形式为:(叼―五)。一义)一(力―h)3 一玉)=0时,方程可以表示任意直线. (4) 截距式:- + ^ = 1(a,b分别为x轴y轴上的截距,且a者0,者0). a b 注:不能表示与x轴垂直的直线,也不能表示与y轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5) 一般式:Ax + By + C = 0 (其中A、B不同时为0). 4C1A —般式化为斜截式:y = —x,即,直线的斜率:k =—. BBB 注:(1)已知直线纵截距D ,常设其方程为^ =々+人或x = 0. 已知直线横截距气,常设其方程为x = my + Xo(直线斜率*存在时,m为k的倒数)或y = Q. 已知直线过点(x0,y0),常设其方程为y = k(x-x0) + y0或x =吒. (2) 解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3. 直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1) 直线在两坐标轴上的截理祖萼O直线的斜率为-1或直线过原点. (2) 直线两截理耳为祖区数O直线的斜率为1或直线过原点. (3) 直线两截蛆第冲值袒萼O直线的斜率为±1或直线过原点. 4. 两条直线的平行和垂直: (1) 若 £ : y = kj+h , l2:y = k2x+b2 ① Z] /〃2 =灼=*2,“] A。?;② « _1_匕 O 々化=一L (2) 若/] : Axx + Bxy + C} =0 , /2 : A2x + B2y + C2 = 0,有 ① /] ///2 = AjB2 — A2BjJeLAjC2 丰 A2Cj .② /] -L l2 = A]A2 + BXB2 — 0 . 5. 平面两点距离公式: (*(周,叫)、P2(x2, y2)), P『2 = J(》1 f 2)2 +(V1 -%)2 . x轴上两点间距离:|A& = \xB -xA|. x, + =-2- 线段RE的中点是M(x0,y0),则, _ M + —2 6, 点到直线的距离公式: 点P(%0,y0)到直线Z: Ax+By + C = 0的距离:# =仇了+华凶. \A2+B2 7. 两平行直线间的距离: 两条平行直线 4: Ax+By+Q =0, /2: Ax+By+C2 离:d =也二SL . Va2 +b2 8. 直线系方程: (1) 平行直线系方程: ① 直线y = kx+b中当斜率上一定而b变动时,表示平行直线系方程 ② 与直线l:Ax + By + C = O平行的直线可表示为Ax + By + Q =0 . ③ 过点P(*o,%)与直线l:Ax + By + C = O平行的直线可表示为:A(x —凡)+ 3。一%) = 0. (2) 垂直直线系方程: ① 与直线l:Ax + By + C = O垂直的直线可表示为Bx-Ay + C, =0. ② 过点P(x0,j0)与直线l:Ax + By + C = 0垂直的直线可表示为:B(x-xo)-A(y-yo)-O. (3) 定点直线系方程: ① 经过定点鸟的直线系方程为y 一为=k(x-x0)(除直线x = x0),其中k是待定的系数. ② 经过定点耳(Xo,y°)的直线系方程为A(x-xo) + B(y-yo) = O,其中A,3是待定的系数. (4) 共点直线系方程:经过两直线0 ). (2) 圆的一般方程:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 -4F>0). (3) 圆的直径式方程: 若, yx), B(x2,y2),以线段 AB 为直径的圆的方程是:(x-x1)(x-x2)-i-(y-yj(y-y2) = 0- 注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是r = -^D2 +E2-4F . 222 (2) 一般方程的特点: ①和y2的系数相同且不为零;②没有孑项;③D2+E2~4F>0 (3) 二元二次方程Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+F = 0表示圆的等价条件是: ① A = — 0;② 3 = 0;③ D2 +E- -4AF>0. 11. 圆的弦长的求法: (1) 几何法:当直线和圆相交时,设弦长为/,弦心距为d,半径为尸, 则:“半弦长2+弦心距2=半径之” ——(?)2+』2=「2; (2) 代数法:设/的斜率为k, /与圆交点分别为切叫必),贝。 I A31=』1 + k2 \xA-xB 1=+ 卡 I Na -无 I (其中|石-吟1,1山-% I的求法是将直线和圆的方程联立消去y或们 利用韦达定理求解) 12. 点与圆的位置关系:点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2 =r2的位置关系有三种 ① P 在在圆外 od>ro (x0 - a)2 +(y0 -b)2 > r2 . ② F 在在圆内v ro(Xo — a)2 +(% —b)2 v r2 . ③ F 在在圆上=d =,u>(x° —q)2+(% —Z?)2 =尸2.【P 到圆心距离d =— x0)2 + (Z? — y0)2 】 13. 直线与圆的位置关系: 00 0|Ai+bz?+c| 直线Ax+By+C = O与圆(x-a)2+(y-Z?)2 =r2的位置关系有三种(d =〔, ): Va2 + b2 圆心到直线距离为由直线和圆联立方程组消去x (或y)后,所得一元二次方程的判别式为△. r 相离= △(). 14. 两圆位置关系:设