高中数学必修一基础知识 (一) 集合 1. 集合的概念 (1) 集合的元素具有三个性质,即 、和 (2) 我们约定用 表示自然数集,用 表示正整数集,用 表示整数集,用 表 示有理数集,用 表示实数集.用 表示空集. 2. 集合间的基本关系 空集是任何一个集合的,空集是任何一个非空集合的 O 若有限集A中有n个元素,集合A的子集个数为 ,非空子集的个数为 ,真子集的个 数为,非空真子集的个数为 o 3. 集合运算中两组常用的结论 (1) ① C u (A ~ B) = ;② Cu (AuB) =o (2) ① AC B = A= ;② Au B = A= 。 (二) 函数的概念 (1) 函数:设 A B是,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x在集 合B中都有 和它对应,那么就称 f : At B为从集合A到集合B的一个函数,记作 y = f (x), x e A .其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ;与x的值相对应的v的值 叫做函数值,函数值的集合 { f (x) | x任A}叫做函数的 .值域是集合B的子集. (2) 映射:设A, B是两个集合,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的 元素在 集合B中都有 元素和它对应,那么这样的对应就称为从集合 A到集合B的映射,记作f : A tB . (3) 函数的三要素: 、及 称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用 的是 及,定义域及对应关系确定了,这个函数就唯一确定了 (4) 相等函数:定义域相同,并且对应关系 的两个函数就称为相等函数. (三) 函数单调性 1. 增函数、减函数 设函数f(X)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 Xi,X2,当Xi v*时,都有,那 么就说函数f(X)在区间D上是增函数; 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 Xi,X2,当Xi 冬时,都有, 那么就说函数f(X)在区间D上是减函数. 2. 利用定义判断(证明)函数单调性的一般步骤: ① ;② ;③ ;④ (四) 函数奇偶性 1. 奇偶性 (1) 奇函数、偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 X,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数. (2) 奇函数、偶函数的性质 ① 奇函数、偶函数的定义域皆关于。 ② 奇函数的图象关于,偶函数的图象关于O ③ 若奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有。 ④ 奇函数在关于原点对称的区间上具有性,偶函数在关于原点对称的区间上具有 单调性. (五)基本函数:一次二次函数 1、函数y kx b(k 9) 叫做一次函数,它的定义域和值域皆为R 2、一次函数性质 ① 当k>0时,为 函数,当kvo时,为 函数; ② 当b=o时,函数y kx(k 勇为正比例函数; ③ 直线y=kx+b与x轴的交点为,与v轴的交点为 o 3、二次函数的解析式的三种形式: ① 一般式; ② 顶点式; ③ 零点式 O 4、二次函~ .2. 了( a 0)的图象是一条,顶点坐标 ① ()=2=I +4ac-b * f x 7 ax bx c a x 2a 4a 为,对称轴方程为 乂二一」3“,当a 书时开口 a 0京开口 一 2a ② 4= 2 -4 >0(A = 0,A 0, p N-); 正分数指数幕: m a =. 1); n a 0,m> n 引且 n > 负分数指数幕: m a> 1); (a 0,m、n N 且 n o的正分数指数幕等于,0 2.幕的运算法则g 0,b0, r、 的负分数指数幕无意义。 s Q)= ( >« ) r sr a a; (a ) 指数函数图像及性质 ;(ab) X o 定义 y a a 0,a 1 图象 定义域 值域 定点 单调性 a >1, 0《4, (七)对数函数 1.定义:如果a(a 0>且a @的b次幕等于n,就是 =m k 。 z 叶a N ,那么数b称以a为底N的对数,记 作,其中a称对数的底,n称真数. ① 以10为底的对数称常用对数,log N记作, 10 ② 以无理数e,e 2.71828 为底的对数称自然对数,log N记作 e 2.基本性质:①真数 N为正数(负数和零无对数), ② loga 1 ,③loga a,④对数恒等式:al09aN > * > > 3.运算性质:如果a 0, a 1, M 0, N 0,则 ① loga(MN) ;©log a t;③”g M n Na IVI 4,换底公式: > 。 > 。 > log N - (a 0,a 1, m 0,m 1, N 0), 色 lOHo h locKa . c Iccl b m 5.对数函数白 定 义 j图像与性质 T直—域— 定点 单调性 a >= a a 任i 2 x/ v1 1时图像 凸,0