高中数学教学论文-利用导数处理与不等式有关的问题-新人教版
利用导数处理与不等式有关的问题 关键词:导数,不等式,单调性,最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大(小)值、求函 数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质;因此,很 多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解 决与不等式有关.的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 (一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,则该函数在该区间上单调递增(或 递减)。因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的 单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调 性。具体有如下几种形式: 1、直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增(减) 区间,自变量越大,函数值越大(小),来证明不等式成立。 x2 例 1: x〉0 时,求证;x— —ln(l+x) 0),则 f (x) = - 21 + x Vx>0, Af (x)0 时,f (x)lnba 即证:blna—alnb>0 »a 设 f (x) =xlna—alnx (x>a>e);贝!J f (x)二Ina——, x a» Va>e, x>a lna>L, — 0,因而 f(x)在(e, +°°)上递增 x *.*b>a, f (b) >f (a); 故 blna——alnb>alna——alna二0;艮P blna>alnb 所以ab>b,成立。 (注意,此题若以a为自变量构造函数f (x) =blnx—xlnb (e当 lnblnb 故f(x)在区间(e, b)上的递减,但要证明e>-^-则需另费周折,因此,本题还是选择以a mb 为自变量来构造函数好,由本例可知用函数单调性证明不等式时,如何选择自变量来构造函 数是比较重要的。) (二)、利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时 可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立, 可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为.函数求最值问题。 例 3、求证:nEN*, n>3 时,2n >2n+l 证明:要证原式,即需证:2“二2n — .l〉0, nN3时成立 设 f (x)=2 —2x—1 (x设3),则 f (x)=2*ln2—2 (xN3), Vx»3, Af (x) »2,ln3-2>0 f (x)在[3, +8 )上是增函数, f (x)的最小值为 f ⑶=23-2X3-l=l>,0 所以,nGN*, ti>3 时,f(n)Nf(3)〉0,即 n>3 时,2“—2n—1〉0 成立, 例 4、gA(x) = (|-l)2 + (^-l)2 的定义域是 A=[a,b),其中 a,beRS 【k 【k+1 4 k(k +1) (k£N.*)成立 3、利用导数求出函数的值域,再证明不等式。 1 ,4 例 5: f (x) = -x3—x, Xi, x2^ [ — 1, 1]时,求证:|f (xi)”一f(X2) | 证明:f (x) =x2—1, xe [一1, 1]时,f * (x) WO, 2 ・・・f (x)在[—1, 1]上递减.故f (x)在[—1, 1]上的最大值为f(-l)=j 22 2 最小值为f (1) 二 —§即f (x)在 —1,1]上的值域为[一§:]; …2? 月f 以 Xi, X2^ [ — 1, 1]时,|f(X1) I < 3,If(X2)I f(x)(或 m \/27 = ^3