高中数学教学论文-利用导数处理与不等式有关的问题-新人教版

利用导数处理与不等式有关的问题 关键词导数，不等式，单调性，最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大小值、求函 数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很 多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解 决与不等式有关.的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 一、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于或小于0时，则该函数在该区间上单调递增或 递减。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的 单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调 性。具体有如下几种形式 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增减 区间，自变量越大，函数值越大小，来证明不等式成立。 x2 例 1 x〉0 时,求证；x lnlx 0 x2, x2 证明设 fx x一- lnlx x0,则 f x - 21 x Vx0, Af x0,故 fx在0, 8上递减， x2 所以 x0 时,f xf 00,即 x-- lnlx0 成立。 2、把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。 例2巳知I a, beR, b〉a〉e,求证abb a, e为自然对数的底 证要证 ab*只需证 lnablnba 即证blnaalnb0 a 设 f x xlnaalnx xae；贝J f x二Ina, x a Vae, xa lnaL, 1, .*.f x 0,因而 fx在e, 上递增 x *.*ba, f b f a； 故 blnaalnbalnaalna二0；艮P blnaalnb 所以abb，成立。 注意，此题若以a为自变量构造函数f x blnxxlnb exb 则 fx --lnb, f x 0 时 x--,fx 0 时 xU-,故 fx在区间e, b上 xInbInb 的增减性要由e与当的大小而定,当然由题可以推测e 当 lnblnb 故fx在区间e, b上的递减，但要证明e--则需另费周折，因此，本题还是选择以a mb 为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函 数是比较重要的。 二、利用导数求出函数的最值或值域后，再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时 可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大或最小值时不等式都成立, 可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为.函数求最值问题。 例 3、求证nEN*, n3 时，2n 2nl 证明要证原式，即需证2二2n .l〉0, nN3时成立 设 f x22x1 x设3，则 f x2*ln22 xN3, Vx3, Af x 2,ln3-20 f x在[3, 8 上是增函数, f x的最小值为 f ⑶23-2X3-ll,0 所以，nGN*, ti3 时，fnNf3〉0,即 n3 时,22n1〉0 成立, 例 4、gAx |-l2 -l2 的定义域是 A[a,b,其中 a,beRSb 若 xi.eik[k2, k12, X2Ik2kl2, k22 、4 求证寸 keN* 2b 2b2 证明由题知gX ； 兰二、一专 a2 a x2 x3 2x 22b2b243 2 2 2 g x二 r-1 0 时 xaxa ba bx二0 a2 a x2x3 即xaV ax x2ab0,化简得x2ab x2axab0 所以 x2axab 0 或 x2ab0, *.\0ab, /.x2axab 0 无解 由 x2ab0 解得x A/abx-Vab 舍 故 g x 0 时 xw [ b, g* x〈0 时 xw [a, Vab, 因而gx在[Vab,b递增，在[a, Vab上递减 所以xVab是gA x的极小值点， gA 12是幼x的最小值。 又VgAx在区间[a, b只有一个极值 k l2_]2 2守 _12号 K 所以，g X]的最小值为g k；22 ZkZkk g*2的最小值为2苫-12 2 【k1 又2 |2 vF. 2_4 k2 k 12\k2 k 12 kk l XiGIk [k2, k12, X2仁Iki [k12, k22时 g X] g x2 【k 【k1 4 kk 1 kN.*成立 3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。 1 ,4 例 5 f x -x3x, Xi, x2 ［ 1, 1］时，求证|f xi”一fX2 | 证明f x x21, xe ［一1, 1］时,f * x WO, 2 ・・・f x在［1, 1］上递减.故f x在［1, 1］上的最大值为f-lj 22 2 最小值为f 1 二 即f x在 1,1］上的值域为［一］； 2 月f 以 Xi, X2 ［ 1, 1］时，|fX1 I 3，IfX2I -, 2 2 4 即有 |f xifX2 | W |f xi | |f x2 I - 3 3 3 二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为nifx或 mf x恒成立，于是m大于f x的最大值或m小于f x的最小值，从而把不等式恒成立 问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重 要方法。 例6、已知函数fx - JQ9a e R,对f x定义域内任意的x的值, x fxN27恒成立，求a的取值范围 解函数fx的定义域为0, 8,由fxN27对一切xe 0, 8恒成立 知- Vx \/27 3