高中立体几何教案第一章 直线和平面两个平面垂直的判定和性质(二)教案
高中立体几何教案第一章 直线和平面两个平面垂直的判定和性质(二)教案 北京师大实验中学李青霞 教学目标 1. 使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明.并能应用判定定理和性 质定理解决简单问题; 2. 通过两个定理的两种引入方式,培养学生观察,归纳、猜想、证明的科 学思维方式及辩证思维能力. 教学重点和难点 性质定理的引入及证明. 教学用具 两个互相垂直的平面,一根直的细木棍. 教学设计过程 师:上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理.如果两个 平面相交,所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.判定定理是用 来判定两个平面垂直的方法.请问判定定理是如何叙述的呢? 生:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 师:好.应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线.下面 我们一起来解决上节课留的思考题. (板书)如图,四边形BCDE是正方形,ABL面BCDE,则图中所示7个平面 中,有几对平面互相垂直? A 生:共7组. ABL面 BCDE, 所以 面ABEL面BCDE, 面 ABC L面 BCDE, 面 ABDL面 BCDE, 且 AB±BC, AB±CE, ABXCD. 又正方形BCDE, 所以BCXBE, 所以BCL面ABE. 因为面ABCL面ABE, 因为 DE//BC, 所以 DEL面ABE, 故 面ADEL面ABE. 又 CDXBC, 因为 CDL面ABC, 所以面ACDL面ABC. 又 CEXBD, 所以CEL面ABD, 故 面 ACE LiS ABD. 师:通过对本题的研究,我们对判定定理有了更深入的理解.下面我们一起 来研究面面垂直有哪些性质. 生:两个平面互相垂直,所成的二面角是直二面角. 师:很好.这是由定义的双重性得到的,定义既提供了两个平面垂直的判定 方法,又指出了两个平面互相垂直的性质.上节课我们由线面垂直,推出面面垂 直,也就是面面垂直的判定定理.那么现在从面面垂直出发,能否得到线面垂直 呢? (取出教具,并拿细木棍在其中一个面上移动) 生:当根与棱垂直时,根与另一平面垂直. 师:很好.如果棍与棱不垂直时,棍与面垂直吗? 生:不垂直. 师:好.也就是说只有当棍与棱垂直时,棍才与面垂直.那么是不是与棱垂 直,就一定与面垂直呢? (保持棍与棱相交且垂直,将棱移开平面,使之与平面不垂直) 生:不是,棍必须在平面内. 师:意思是说当棍在面内时,如果棍与棱垂直,则它与面垂直.好,请你整 理一下刚才的想法,该怎样叙述这个命题的内容呢?注意面面垂直的大前提. 生:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面. 师:很好,下面我们一起来完成命题的证明.先分析命题的条件和结论,然 后画出图形,再结合图形,用符号语言叙述已知,求证. C B P E 2 生:已知如图,a ± 3 , a n 3 =AB, CD C a , CD±AB. 求证:CD_L B . 师:这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些, 由本题的已知看看哪个方法最适合. 生:由已知CD±AB, AB在B内,想证CD± 3 ,只需在B内再找一条直线与 CD垂直. 师:很好.但B内没有这样的直线.应该怎样作出这条直线呢? 生:因为根据定义作出这个二面角的平面角,就是90° , 在平面B内,过D作DEXAB, 因为 CDXAB, 所以 NCDE是a -AB-3的平面角, 又 a _L B , 所以 ZCDE=90° , 艮口 CD±DE. 又 AB u B , DE u B , 故 CD± 3 . 师:好.利用两个平面垂直的定义,作出直线CDXAB,最终证明了 AB± 3 .它 就是面面垂直的性质定理.也可称为线面垂直的判定定理. (板书)剖析:(1)面面垂直一线面垂直 (2)为判定或作出线面垂直提供依据. 师:这个定理由面面垂直出发,借助于线线垂直,结论是线面垂直.给我们 提供了解决线面垂直的一种新的思路-寻找面面垂直.这一点也是这一定理最突 出的作用. 师:下面继续来看,保持面面垂直的条件不变,交换一下命题的条件和结论, 看看结论是否有价值.(与学生一起分析得出) 命血 a IP, an? =AB. CDca, CDi P, MCD1AB. 命通2 a IP, an? =AB. CD1AB. CDi P, JWcdcg. 师:命题1,由AB u B , CD± 3 ,可得CDXAB,与a ± 3的大前提无关, 不做研究.命题2,条件重复,去掉CDXAB.这个结论正确吗? (取出教具,保持棍与面垂直,将棍移出平面,引导学生说出棍上必须有一 个点在面a上,才可以保证棍在面内) 师:好,修改一下命题.(擦去ABXCD,添加C 6 a,或DE a ) 师:现在的命题正确吗?要证直线在平面内,直接证法是依据公理1,需要 在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C 6 a,再找合题意的点很困难.应 该采用什么对策? 生:利用反证法. 假设CD Z a ,过点C作CE±AB于E. 因为 a _L B , 所以CE± 3 . 又CD与CE确定平面y , 令 Y n 3 =a, 则 CD±a, CE±a. 所以在平面Y内,有两条直线CD, CE,同时垂直直线a, 这与平面几何定理矛盾! 所以CD U a . 师:很好.这也是面面垂直的一个性质,它的作用是判定直线在平面内.用 语言叙述就是:(板书在命题1的位置) 如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直 线,在第一个平面内. 师:请同学们打开书P. 41.书上给出了面面垂直的两个性质定理.我们看 一下定理的证明.看书的同时,指出书上所用的证明方法是同一法,有唯一性定 理做保证.定理内容是:经过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直. 师:上面我们研究了面面垂直的两个性质定理.定理1是判定线面垂直的有 效方法,性质2是判定直线在平面内的一种方法.从应用上看,定理1更广泛一 些. 例垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面. 已知:a_Lv, B_Lv, a n 3 =a, 求证:a_L Y . 师:本题条件是面面垂直,结论是线面垂直.选择适当的判定 线面垂直的方法,给出证明. 证法一: 设 a n Y=b, 3 n Y=C,在 Y 内任取一点 P,作 PM±b 于 M, PN±C 于 N. 因为 a _L V , B _L Y , 所以 PM± a , PN± B . 因为 a n B =a, 所以 PM±a, PN±a, 所以a_L Y . 证法二: 任取pea,过点P作b± Y . 因为 a ± Y, 所以b C a , 因为 B _L Y , 因此b u 8 , 故 a Pl=b. 由已知 a D 8 =a, 所以a与b重合, 所以a± Y . 证法三: 设 a J_ v 于 b, B_LB 于 C. 在