高中立体几何教案第一章 直线和平面两个平面垂直的判定和性质（二）教案

高中立体几何教案第一章 直线和平面两个平面垂直的判定和性质（二）教案 北京师大实验中学李青霞 教学目标 1. 使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明.并能应用判定定理和性 质定理解决简单问题； 2. 通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科 学思维方式及辩证思维能力. 教学重点和难点 性质定理的引入及证明. 教学用具 两个互相垂直的平面，一根直的细木棍. 教学设计过程 师上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理.如果两个 平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.判定定理是用 来判定两个平面垂直的方法.请问判定定理是如何叙述的呢 生如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 师好.应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线.下面 我们一起来解决上节课留的思考题. （板书）如图，四边形BCDE是正方形，ABL面BCDE,则图中所示7个平面 中，有几对平面互相垂直 A 生共7组. ABL面 BCDE, 所以 面ABEL面BCDE, 面 ABC L面 BCDE, 面 ABDL面 BCDE, 且 ABBC, ABCE, ABXCD. 又正方形BCDE, 所以BCXBE, 所以BCL面ABE. 因为面ABCL面ABE, 因为 DE//BC, 所以 DEL面ABE, 故 面ADEL面ABE. 又 CDXBC, 因为 CDL面ABC, 所以面ACDL面ABC. 又 CEXBD, 所以CEL面ABD, 故 面 ACE LiS ABD. 师通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解.下面我们一起 来研究面面垂直有哪些性质. 生两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角. 师很好.这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定 方法，又指出了两个平面互相垂直的性质.上节课我们由线面垂直，推出面面垂 直，也就是面面垂直的判定定理.那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直 呢 （取出教具，并拿细木棍在其中一个面上移动） 生当根与棱垂直时，根与另一平面垂直. 师很好.如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗 生不垂直. 师好.也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直.那么是不是与棱垂 直，就一定与面垂直呢 （保持棍与棱相交且垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直） 生不是，棍必须在平面内. 师意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直.好，请你整 理一下刚才的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢注意面面垂直的大前提. 生如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面. 师很好，下面我们一起来完成命题的证明.先分析命题的条件和结论，然 后画出图形，再结合图形，用符号语言叙述已知，求证. C B P E 2 生已知如图，a 3 , a n 3 AB, CD C a , CDAB. 求证CD_L B . 师这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些, 由本题的已知看看哪个方法最适合. 生由已知CDAB, AB在B内，想证CD 3 ,只需在B内再找一条直线与 CD垂直. 师很好.但B内没有这样的直线.应该怎样作出这条直线呢 生因为根据定义作出这个二面角的平面角，就是90 , 在平面B内，过D作DEXAB, 因为 CDXAB, 所以 NCDE是a -AB-3的平面角， 又 a _L B , 所以 ZCDE90 , 艮口 CDDE. 又 AB u B , DE u B , 故 CD 3 . 师好.利用两个平面垂直的定义，作出直线CDXAB,最终证明了 AB 3 .它 就是面面垂直的性质定理.也可称为线面垂直的判定定理. （板书）剖析（1）面面垂直一线面垂直 （2）为判定或作出线面垂直提供依据. 师这个定理由面面垂直出发，借助于线线垂直，结论是线面垂直.给我们 提供了解决线面垂直的一种新的思路-寻找面面垂直.这一点也是这一定理最突 出的作用. 师下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论, 看看结论是否有价值.（与学生一起分析得出） 命血 a IP, an AB. CDca, CDi P, MCD1AB. 命通2 a IP, an AB. CD1AB. CDi P, JWcdcg. 师命题1,由AB u B , CD 3 ,可得CDXAB,与a 3的大前提无关， 不做研究.命题2,条件重复，去掉CDXAB.这个结论正确吗 （取出教具，保持棍与面垂直，将棍移出平面，引导学生说出棍上必须有一 个点在面a上，才可以保证棍在面内） 师好，修改一下命题.（擦去ABXCD，添加C 6 a,或DE a ） 师现在的命题正确吗要证直线在平面内，直接证法是依据公理1,需要 在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C 6 a,再找合题意的点很困难.应 该采用什么对策 生利用反证法. 假设CD Z a ,过点C作CEAB于E. 因为 a _L B , 所以CE 3 . 又CD与CE确定平面y , 令 Y n 3 a, 则 CDa, CEa. 所以在平面Y内，有两条直线CD, CE,同时垂直直线a, 这与平面几何定理矛盾 所以CD U a . 师很好.这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内.用 语言叙述就是（板书在命题1的位置） 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直 线，在第一个平面内. 师请同学们打开书P. 41.书上给出了面面垂直的两个性质定理.我们看 一下定理的证明.看书的同时，指出书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定 理做保证.定理内容是经过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直. 师上面我们研究了面面垂直的两个性质定理.定理1是判定线面垂直的有 效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法.从应用上看，定理1更广泛一 些. 例垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面. 已知a_Lv, B_Lv, a n 3 a, 求证a_L Y . 师本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定 线面垂直的方法，给出证明. 证法一 设 a n Yb, 3 n YC,在 Y 内任取一点 P,作 PMb 于 M, PNC 于 N. 因为 a _L V , B _L Y , 所以 PM a , PN B . 因为 a n B a, 所以 PMa, PNa, 所以a_L Y . 证法二 任取pea,过点P作b Y . 因为 a Y, 所以b C a , 因为 B _L Y , 因此b u 8 , 故 a Plb. 由已知 a D 8 a, 所以a与b重合， 所以a Y . 证法三 设 a J_ v 于 b, B_LB 于 C. 在