高二年级强化培优班数学学案
(1)对项数估算的错误,特别是寻找。=#与。=#+1的关系时,项数发生什么变化被 弄错。(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁 断了就通不过去了。(3)关键步骤含糊不清,“假设n^k时结论成立,利用此假设 证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环 节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 四、例题 1. 已知点列A(x,,O), n京,其中Xi = O, X2=a(a〉0), 4是线段44的中点,4是线 段44的中点,…人是线段瓦—0T的中点,(1)写出 (2)设&=x,+i —X”,计算易,庞,由此推测数列{a,,}的通项公式,并用数 学归纳法加以证明. 2. 设数列{%}的前n项和为S”对一切“CN*,点(〃,平)都在函数/U)=x+襟的图象上. (1) 求刃,02, CI3的值,猜想 2), an+l =—-— (〃cN*),求 2-% 4. 是否存在一个等差数列{s},使得对任何自然数n,等式:s+2以+3必+… +nan=n(n+1 )(n+2)都成立,并证明你的结论. 5. 己知数列{s}满足。1=0,。2=1,当〃EN时,an+2=an+i+an.求证:数列{s}的第4秫+1 项(mWN)能被3整除. 6. 对于数列{。〃},若。1 =1 + 上(1 >0且。=。] 一」- aan. (1) 求a2,a2,a4,并猜想{%}的表达式; (2) 用数学归纳法证明你的猜想. 高二年级强化培优班数学学案(一) 讲授:刘巨平 课题:用数学归纳法求数列通项问题 一、学习目标: 1. 理解数学归纳法的一般原理,会用数学归纳法解决一些数列问题。 2. 初步掌握“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维方法。 二、重点:“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维模式的培养 难点:利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推 证出n = k+1时成立。 三、知识清单 一般地,证明一个与正整数〃有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当〃取第一个值〃=力。时命题成立; (2)(归纳递推)假设n = k时命题成立,证明当n = k+\时 命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从%开始的所有正整数〃都成立。上述证 明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验 证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具 有后继传递性的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整 数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步各司其职,缺 一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递 性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。用数学归纳法可 证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学 习时要具体问题具体分析。 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k + 1时成立是利用假设n= k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推 证出。=#+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+\时也成假设了,命题并没有得到证 明。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 C.第44行第74列 D.第45行第74列 5. 己知数列{an}的前n项和为Sn,是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,Jl.满足ai=l, 3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论。 6. 在各项为正的数列{%}中,数列的前n项和Sn满足S„ =-(«„+—) 2 an (1)求apa2,a3(2)由(1)猜想数列{a“}的通项公式,并且用数学归纳法证明你 的猜想. 7. 己知数列{a“}满足Sn = 2an +2“(n = 1,2,3 • • •),求at,a2,a3,a4的值及猜想a,,并证 明 8. 设a.beN,两直线LI: y=b--x与L2: y=-x的交点为Pjx“yD且对nN2的自 aa 然数,两点(0, b) , (Xz,o)的连续与直线y=-x交于点 a Pn(Xn, Yn)。 ⑴求P】、P2的坐标; (2)猜想Pn并用数学归纳法证明。万一 0 Qi Q1 Q3 图 11-2 9. 已知数列{。〃}中,a} =2,an >0,且满足 2。;+】一—1 = 0(〃 e N), 用数学归纳法求勾, 10擞列{%}中,% =tan+} =~- — ,bn =-^—求心妇妇如,猜想通项公式,并用数学归 22 纳法证明 11. 已知数列{an}中,ai=-, Sn=n2 • an (neN) 2 (I )求 a?, a3, a4 的值; (II)推测数列{a。的通项公式,并用数学归纳法加以证明; 12. 是否存在常数a, b使等式 1 • n+2 . (nT)+3 • (n-2)+・・・+(n-2) . 3+(nT) . 2+n • 1= —n(n+a) (n+b)对一切 6 高二年级强化培优班数学配餐(一) 编制:刘巨平 1. 数歹!]{。〃}的前〃项和为S〃, 已计算得 5i =y[2— 1,—$3=1, 由此可猜想Sn=( B ) A.yfn—1B.y/n-hl — l C.y/n-bl—2D.^w+2-2 2.已知看&+看耳&(k= 1,2,3,…),则&+i 等于(C ) A,,汁2伙+1)B. ^+2FFT-I+T C Sk^2k-\-l~2k-\-2 D,$汁2R+1 + 2&+2 3.对于不等式眼+/W〃+1(〃EN*),某人的证明过程如下: 1。当〃 =1时,廿F+1W1 + 1,不等式成立. 2。假设 n=k(k^N*)时不等式成立,即-好+k