高二年级强化培优班数学学案

1对项数估算的错误，特别是寻找。与。1的关系时，项数发生什么变化被 弄错。2没有利用归纳假设归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁 断了就通不过去了。3关键步骤含糊不清，“假设nk时结论成立，利用此假设 证明nk1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环 节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 四、例题 1. 已知点列Ax,,O, n京,其中Xi O, X2aa〉0, 4是线段44的中点，4是线 段44的中点，人是线段瓦0T的中点，1写出与T、互2之间的关系式 /753; 2设x,i X”，计算易，庞，由此推测数列｛a,,｝的通项公式，并用数 学归纳法加以证明. 2. 设数列｛｝的前n项和为S”对一切CN*,点〃，平都在函数/Ux襟的图象上. 1 求刃，02, CI3的值，猜想2的表达式，并用数学归纳法证明； 2 将数列0,｝依次按1项、2项、3项、4项循环地分为01, ffi, 03,04, 05, 06, Q7,。8,。9,。10； 6111, 。12,。13, 。14, Q15,。16，。17, Q18,。19,。20； 。21, ， 分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为化〃｝， 求 Z5 Z100 的值. 3. 数列｛｝满足 axb Z 2, anl - 〃cN*,求 2-％ 4. 是否存在一个等差数列｛s｝,使得对任何自然数n,等式s2以3必 nannn1 n2都成立，并证明你的结论. 5. 己知数列｛s｝满足。10,。21,当〃EN时，an2anian.求证数列｛s｝的第4秫1 项mWN能被3整除. 6. 对于数列｛。〃｝,若。1 1 上1 0且。。］ 一」- aan. 1 求a2,a2,a4,并猜想｛｝的表达式； 2 用数学归纳法证明你的猜想. 高二年级强化培优班数学学案（一） 讲授刘巨平 课题用数学归纳法求数列通项问题 一、学习目标 1. 理解数学归纳法的一般原理，会用数学归纳法解决一些数列问题。 2. 初步掌握“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维方法。 二、重点“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维模式的培养 难点利用假设nk时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推 证出n k1时成立。 三、知识清单 一般地，证明一个与正整数〃有关的命题，可按下列步骤进行 （1）（归纳奠基）证明当〃取第一个值〃力。时命题成立； （2）（归纳递推）假设n k时命题成立，证明当n k\时 命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从％开始的所有正整数〃都成立。上述证 明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验 证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具 有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整 数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺 一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递 性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。用数学归纳法可 证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学 习时要具体问题具体分析。 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即nk1时为什么成立，nk 1时成立是利用假设n k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推 证出。1时成立，而不是直接代入，否则nk\时也成假设了，命题并没有得到证 明。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 C.第44行第74列 D.第45行第74列 5. 己知数列｛an｝的前n项和为Sn,是否存在a,b,c使得anan2bnc,Jl.满足ail, 3Snn2an对一切自然数n都成立试证明你的结论。 6. 在各项为正的数列｛｝中，数列的前n项和Sn满足S„ -„ 2 an 1求apa2,a32由1猜想数列｛a“｝的通项公式，并且用数学归纳法证明你 的猜想. 7. 己知数列｛a“｝满足Sn 2an 2n 1,2,3 ,求at,a2,a3,a4的值及猜想a,,并证 明 8. 设a.beN,两直线LI yb--x与L2 y-x的交点为Pjx“yD且对nN2的自 aa 然数，两点0, b , Xz,o的连续与直线y-x交于点 a PnXn, Yn。 ⑴求P】、P2的坐标； 2猜想Pn并用数学归纳法证明。万一 0 Qi Q1 Q3 图 11-2 9. 已知数列｛。〃｝中，a｝ 2,an 0,且满足 2。；】一1 0〃 e N, 用数学归纳法求勾， 10擞列｛｝中，％ tan｝ - ,bn -求心妇妇如,猜想通项公式，并用数学归 22 纳法证明 11. 已知数列｛an｝中，ai-, Snn2 an neN 2 I 求 a, a3, a4 的值； II推测数列｛a。的通项公式，并用数学归纳法加以证明； 12. 是否存在常数a, b使等式 1 n2 . nT3 n-2・・・n-2 . 3nT . 2n 1 nna nb对一切 6 高二年级强化培优班数学配餐一 编制刘巨平 1. 数歹]｛。〃｝的前〃项和为S〃, 已计算得 5i y[2 1,31, 由此可猜想Sn B A.yfn1B.y/n-hl l C.y/n-bl2D.w2-2 2.已知看看耳k 1,2,3,，则i 等于C A，，汁2伙1B. 2FFT-IT C Sk2k-\-l2k-\-2 D，汁2R1 22 3.对于不等式眼/W〃1〃EN*,某人的证明过程如下 1。当〃 1时，廿F1W1 1,不等式成立. 2。假设 nkkN*时不等式成立，即-好kkl,则 〃R1 时,y]k 12佐1寸F32 W好3上242寸伙22伙11. .当nk\\时，不等式成立. 上述证法D A.过程全都正确 B. 〃1验得不正确 C.归纳假设不正确D.从〃到〃k1的推理不正确 4.将正整数排成下表 1 2 3 4 5 6 789 10 11 12 13 14 15 16 则在表中数字2010