课后素养落实（九）函数的应用（二）数学建模活动：生长规律的描述

课后素养落实（九）函数的应用（二）数学建模活动：生长规律的描述 （建议用时：40分钟） [A组基础合格练] 一、选择题 1. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来 增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用 （） A. 一次函数B.二次函数 C.指数型函数D.对数型函数 D [结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条 件，故选D.] 2. 某校甲、乙两食堂2020年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每 月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.己知2020年9月份 两食堂的营业额又相等，则2020年5月份营业额较高的是（） A.甲B.乙 C.甲、乙营业额相等D.不确定 A [设甲以后每个月比前一个月增加相同的营业额a,乙每个月比前一个月增加营业额 的百分比为x,l月份的营业额设为1,由题意得1 +8a=lX（l+x）8,5月份甲的营业额为l+4a,5 月份乙的营业额为1 X（l+x）4,即寸l+8a. 因为（1 +4fl）2-（l + 8a）= 16a2>0,所以1 +4“>\/l+8a,所以2020年5月份营业额较高 的是甲.] 3. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科 研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入 的科研经费开始超过2 000万元的年份是（参考数据：1g 1.1220.05, 1g 1.3Q0.11, lg 25.30）（） A. 2020 年B. 2021 年 C. 2022 年D. 2023 年 B [若2018年是第一年，则第“年科研经费为1 300X1.12”,由1 300X 1.12”>2 000, 可得 lg 1.3+nlg 1.12>lg2,得 nX0.05>0.19, 〃>3.8,即到 2021 年科研经费超过 2000 万元.] 4. 某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为>=alog2（x+l）,设这种动物第一年有 100只，则第7年它们发展到（） A. 300 只B. 400 只 C. 500 只D. 600 只 A ［当 x=l 时，＞=100,得 a=100,故当 x=7 时，y= 1001og28=300.］ 5. 碳十四是一种具有放射性的同位素，于1940年被首次发现，美国科学家应用碳十四 发明了碳十四年代测定法，并获得了 I960年的诺贝尔化学奖.已知当生物死亡时，它体内原 有的碳十四含量按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间叫做半 衰期，据此规律，生物体内碳十四的含量P与死亡年数I之间的函数关系式为（） t5 730， A. P=G）B. P=g） t5 730 C- P=@5730D. P=G） t C ［根据大约每经过5 730年衰减为原来的一半，生物体内碳十四的含量F与死亡年数t 之间的函数关系式为乃°］ 二、填空题 6. 某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y=e机其中左为常数， ［表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则上=.经过5小时，1个病毒能繁殖为 个， * 21n2 1024 ［当 /=0.5 时，y=2, A2=e , .•.A=21n2, .M=e2血2. 当 t=5 时，y=e101n2 = 210=l 024.］ 7. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除 燃料外）的质量m千克的函数关系式是。=2 0001n（l+£）.当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒. e6—i ［当。=12000 时，2 0001n（l+% = 12 000, .•.ln（l+当=6, A—=e6-l.］ \ mJ 9 mJ 8. 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该 动物繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y=alog2（x+l），若该动物在引入一年后的数量 为100只，则到第7年它们的数量为 只. 300 ［将x=l, y=100 代入 y=alog2（x+l）中，得 100=alog2（l + l）,解得 a=100,则 y = 1001og2（x+l）,所以当 x=7 时，y=1001og2（7+1）=300.］ 三、解答题 9. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度/z（米）与生长时间K年）的相关 数据，选择h=mt+b与介=loga（f+l）来刻画与f的关系，你认为哪个符合？并预测第8年 的松树高度. K年） 1 2 3 4 5 6 人（米） 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 ［解］据表中数据作出散点图如图: 人（米） 012 3 4561（年） 由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理. 不妨将（2,1）代入到/2=logfl（z+l）中，得l=logfl3,解得a=3. 故可用函数h = \og3（t+1）来拟合这个实际问题. 当 t=8 时，求得 /i=log3（8+l）=2, 故可预测第8年松树的高度为2米. 10. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%, 每过滤一次可使杂质含量减少?，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2 =0.3010, 1g 3=0.477 1） 22 ［解］法一：.每次过滤杂质含量降为原来的过滤〃次后杂质含量为. 211 依题意，得血乂质W］ 000,即侦）W药, 任）7=地 j_1 , W -2 187 20 W -6 561 20 由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求. 法—：接法一：母^20, 则 n（lg 2-lg 3）W—（l+lg2）, 即疔7.4,又&6N*, lg3—lg2 :.n^S,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求. ［8组能力过关练］ 11. 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2 万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是 A. y=0.2xB. y=^(x2+2x) 2* C. >=诟D. y=0.2 + logi6X C [A选项是一次函数，而沙漠增加值无这种倍数关系，显然不适合； B选项将三点代入，函数值与实际值差的太大，不适合； C选项将x= 1,2,3分别代入得y=0.2,0.4,0.8,与实际增加值比较接近； D选项将x=2代入得y=0.45,将x=3代入得j«0.6,与实际值相差太多.] 12. (多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间f(月)的关系： 有以下叙述，其中正确的是() A. 这个