课后素养落实(十八)点在空间直角坐标系中的坐标
课后素养落实(十八)点在空间直角坐标系中的坐标 (建议用时:40分钟) [♦组 基础合格练] 1.点 P(0, 2, 0)位于( A.工轴上 B. y轴上 C. xOy平面内D・yOz平面内 B [由于 x=z=0, y=2,「.F 在 y 轴上.] 2. 点P(o, b, c)到坐标平面xOz的距离是() A. \a\ C. |c| B. \b\ D.以上都不对 B [设点尸在面xOz的射影为P,则\PP \ = \b\.] 3. 已知点A(2, 3—//, -1+r)关于工轴的对称点为出Q, 7, —6),则2”次的值为() A. 4=—2, 〃=一4, v=~5 B. 4 = 2, //=—4, v=~5 C. 4=2, //=1。,#=8 D. 2=2, //=10, v=l D [两个点关于x轴对称,那么这两个点的工坐标不变,y坐标与z坐标均互为相反数, 故有 4=2, 7 = _(3—//), —6= —(―1+r), /.2=2, //=10, 77=7.] 4. 点P(l,皿,“)为空间直角坐标系中的点,过点F作平面xOy的垂线,垂足为Q, 则点Q的坐标为() A. (0, 0,寸)B. (0,皿,^3) C. (1, 0,疝D. (1, y/2, 0) D [由空间点的坐标的定义,知点。的坐标为(1,也,0).] 5. 长方体ABCD-AiBiCiDi在空间直角坐标系中的位置如图所示,且AB=3, AD=2, AAt=l,则DDrCiC所在平面上点的坐标形式是() (0, —2, — 1) B. (x, ~2, z) C. (一3, —2, —1) D. (一3, y, z) B [DDiQC所在的平面平行于xOz面,且与工Oz面的距离为2,上面任意一点的〉坐标 都是一2,而心z坐标可取任意实数.] 二、填空题 6. 如图,已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,则CG中点N的坐标为 \d (0, 2, 1) [C(0, 2, 0), |CW|=1, :.N(Q, 2, 1).] 7. 写出点P(2, 3, 4)在三条坐标轴上的射影的坐标, , . (2, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 4) [P(2, 3, 4)在 x 轴上的射影为(2, 0, 0),在 y 轴上的 射影为(0, 3, 0)在z轴上的射影为(0, 0, 4).] 8. 在空间直角坐标系中的点P(a, b, c),有下列叙述: ①点P{a, b, c)关于横轴(x轴)的对称点是Pi(a, ~b, c);②点P(a, b, c)关于yOz坐标 平面的对称点为P2(a, ~b, —c);③点P(s b, c)关于纵轴(y轴)的对称点是P^a, ~b, c); ④点F(s b, c)关于坐标原点的对称点为0(—s ~b, —c). 其中正确命题的序号是. [答案]④ 三、解答题 9. 如图,棱长为0的正方体OABC-D A B C中,对角线。矽与相交于点0 顶点O 为坐标原点,OA, OC分别在x轴、y轴的正半轴上,试写出点Q的坐标. [解]因为。伊与B2T相交于点Q, 所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点, 所以Q的坐标为(%, % z). 同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为与QT的交点, 所以Q点的坐标为G”, 10. 如图所示,长方体ABCD-AiBiCiDx的对称中心为坐标原点,交于同一顶点的三个面 分别平行于三个坐标平面,顶点A(—2, —3, -1),求其它七个顶点的坐标. [解]长方体的对称中心为坐标原点。, •.,顶点 A(—2, —3, -1). .♦.A关于原点的对称点G的坐标为(2, 3, 1).又LC与G关于坐标平面xOy对称, .,.C(2, 3, -1).而Ai与。关于原点对称, .♦.Ai(—2, -3, 1).又与£>关于坐标平面yOz对称, .•./)(—2, 3, -1). •B与。关于坐标平面xOz对称, .♦.3(2, -3, -1).又.曷与B关于坐标平面xOy对称, .♦.81(2, —3, 1). 同理,Di(-2, 3, 1). 综上知长方体其他七个顶点的坐标为Ci(2, 3, 1), C(2, 3, -1), Ai(-2, 一3, 1), BQ, ~3, -1), Bi(2, -3, 1),。(一2, 3, -1), W—2, 3, 1). [B组能力过关练] 11. 在空间直角坐标系中,点P(3, 4, 5)与03, -4, —5)两点间的位置关系是() A. 关于x轴对称 B. 关于xOy平面对称 C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对 A [点P(3, 4, 5)与03, -4, -5)两点的横坐标相同,而纵、竖坐标互为相反数, 所以两点关于x轴对称.] 12. 设z为任一实数,则点(2, 2, z)表示的图形是() A. z轴 B. 与平面xOy平行的一直线 C. 平面xOy D. 与平面xOy垂直的一直线 D [(2, 2, z)表示过点(2, 2, 0)且与z轴平行的直线,即与平面xOy垂直的直线.] 13. (多选题)空间直角坐标系中,若一点到三个坐标平面的距离都是1,则下列说法正确 的是() A. 该点到原点的距离是3 B. 该点到原点的距离是3 C. 这样的点有4个 D. 这样的点有8个 [答案]AD 14. (-题两空)在空间直角坐标系中,点M(~2, 4, —3)在xOz平面上的射影的坐标是 ,点必(一2, 4, 一3)关于原点对称的点的坐标是. (-2, 0, -3) (2, -4, 3)[点 M在 xOz 上的射影为(一2, 0, 一3),点必(一2, 4,- 3)关于原点对称的坐标为(2, -4, 3).] [C组拓广探索练] 15. 如图,在棱长为1的正方体ABCD-AiB^CiDi中,E, F分别是。少,位)的中点,G 在棱CQ上,且CG=^CD, H为CiG的中点,试建立适当的直角坐标系,写出点E, F, G, [解]以。为原点,D4所在直线为x轴,OC所在直线为〉轴,DOi所在直线为z轴建 立空间直角坐标系. 点E在z轴上,且为DiD的中点, .•.点E坐标为(0, 0, £). 过 F 作 FM±AD, FNLDC,则\FM\ = \FN\=^, 故点F坐标为G,0) 3 •点G在〉轴上,又|G£>|=彳, .•.点G坐标为(0,0). 过H作HKA.CG于点K,由于H为GG的中点, 故|砒|=§, |CK|=|. :.\DK\=^.故点H的坐标为(0, j, |