[精品]函数的性质(适用高三一轮复习)
函数的概念及其有关性质 一、函数的有关概念:1、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关 系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就 称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x), xGA.其中,x叫做自变量,x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f (x) | x £A }叫做函数的值域. 2、如何求函数的定义域:例:函数 Vx(4~x)的定义域是 lg(x-3)- 3、如何求复合函数的定义域? 若f (x)定义域为[a, b],复合函数f [g(x)]定义域由aWg(x) Wb解出;若f [g(x)]定义域 为[a, b],则f (x)定义域相当于x£ [a, b]时g(x)的值域; 如:⑴若函数y = /(%)的定义域为},2 ,则/(log2 x)的定义域为— ; (2) 若函数f (『+1)的定义域为[-2,1),则函数f(.x)的定义域为 4、求函数的值域方法:①配方法:如:求函数y = x2-2x + 5,xe[-l,2]的值域 3V ② 逆求法(反求法):如:通过反解,用y来表示3 ,再由3、的取值范围,通过解 不等式,得出y的取值范围 ③ 换元法:如(1) y = a(sin a + cos a) + b sin a cos a + c型的函数的值域; (2) y = 2x + l + Jx — l的值域为 (令Jx-l =t, Z >0o运用换元法时,要特别 要注意新元f的范围); ④ 三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;如: 2 sin。-1 1+ COS。 的值域 ⑤ 不等式法一一利用基本不等式a + b> 2同(a,b 6 7T)求函数的最值:型如 ^cx^+dx + e的值域,先对分子变形,再利用基本不等式(注意等号成立的条件) ax + b I*? -I- V -I- 1 如求y =才十E的值域 尤+ 1 ⑥ 单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑦ 数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法(常考虑斜率的问题)来求值域。 如:已知点P(x,y)在圆x2 + y2 =1±,求旦一及y-2x的取值范围 x + 2 X ⑧ 判别式法:转化为关于自变量的二次函数,另 No如(1)求y = —的值域; l + .r (2)求函数y =的值域 x + 3 ⑨ 导数法:如求函数f(x) = 2x3+4x2-40 x, xe[-3,3]的最小值。 3 + 2x 用2种方法求下列函数的值域:(Dy =(xg[-1,1]) 3-2x 5、求函数解析式常用的方法:(1)待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形 式有三种:一般式:f(x) = ax2 +Z?x + c ;顶点式:f(x) = a(x-m)2-^n :零点式: /(X)=。(尤一尤1)(1一尤2))o (2) 代换(配凑)法——已知形如/(g(x))的表达式,求f 3)的表达式。 如(1)已知 /(1-cosx) = sin2 x,求/*(『)的解析式(2)/(x-—) = x2 +^r-,则函数 XX /(x-1) = (3) 如:f(jx +1) = e」+ x, 求f(x). (3) 方程的思想一一对已知等式进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 如:已知/(x) + 2/(-x) = 3x-2 ,求f 3)的解析式 6、函数图象:(1) f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称;f(x)与-f(x)的图象关于己也对称 f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称;f(x)与L(x)的图象关于直线y = x对称 f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x = a对称;f(x)与-f(2a- x)的图象关于点(a, 0)对称 将y = f(x)图象 左移Ma>。)个单位)y = f成+ Q 上移b(b>0)个单位)y = f(x + a) + b 一右移 a(a>0)个单位 y = f(x-a) 下移 b(b>0)个单位 y = f(x + a)-b ⑵“翻折”变换:f(x) E ; f(x)——f(lxl) 二、函数的性质 1、函数的单调性:(1)如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负) ⑵、如何判断复合函数的单调性?3=如) u=g),则)=心同 (外层)(内层) 当内、外层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数,否则f[(p(x)]为减函数。) 如:求y = logi (-X。+2x)的单调区间 2 (3)如何利用导数判断函数的单调性? 在区间(a, b)内,若总有f (x)>0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 零,不影响函数的单调性),反之也对,若F(x)“呢? 如:已知a > 0.函数f(x) = X,-ax在[1, +co)上是单调增函数,贝l]a的最大值是 2、函数的奇偶性:函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f (x)定义域关于原点对称) 若f(-X)= -f(x)总成立。f(x)为奇函数O函数图象关于原点对称 若f(-x) = f(x)总成立o f(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称 注意如下结论:(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶 函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 ⑵ 若f(x)是奇函数且定义域中有原点,贝iJf(O) = Oo 如:若f(x)=a・2 +a-2为奇函数,则实数a = 2、+1 2 又如:f(x)为定义在(-1, 1)上的奇函数,当xe(0, 1)时,f(x)=—, 4 +1 求f(x)在(-1, 1)上的解析式。 3、周期性:①若y = f (x)图像有两条对称轴x = a,x = b(alb),则y = f (x)必是周期函 数,且一周期为T = 2la-bl; (2)函数/ (x)满足f (x) = f{a + x) (a > 0),则/ (x)是周期为a的周期函数“:①函 数f(%)满足一/(x) = f(a + %),则f(%)是周期为2a的周期函数;②若 f(x + a) = —-—(a?0)恒成立,则 T = 2a ■,③若f(x + a) =(a ? 0)恒成立,则 了(x)f(x) T = 2a 4、函数的对称性。(1) f(x)关于 x=a 对称:f(x)=f(2a-x)或 f(a+x)=f(a-x) (2) f(x)关于点(a,b)对称:f(x)=2b-f(2a-x)或 f(a+x)=2b-f(a・x) (3) f(x)关于 y 轴对称,则 f(x-a)=f(a-x), f(x)关于 x=(a+b)/2 对称,则 f(a+x)=f(b-x) 5、如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法) 如:(1) x gR, f(x)满足f(x + y) = f(x) + f(