[精品]吉林--椭圆及其标准方程(李季)
第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动教案 课题:椭圆及其标准方程 教材:人教版(必修)数学第二册(上)第八章第一节 授课教师:(吉林省)东北师范大学附属实验学校李季 一、教学目标: 1. 知识与技能目标: (1)掌握椭圆定义和标准方程. (2)能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2. 过程与方法目标: (1)通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养学生发现规律、认识 规律并利用规律解决实际问题的能力. (2)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合 等数学思想和方法 3. 情感态度与价值观目标: (1)通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. (2)通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁 美”. (3)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强 主动与他人合作交流的意识. 二、教学重点、难点: 1. 重点:椭圆定义及其标准方程 2, 难点:椭圆标准方程的推导 三、教学过程 认识椭圆,探求规律: 1. 对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实 物和图片,让学生从感性上认识椭圆. 2. 通过动画设计,展示椭圆的形成过程,使学生认识到椭圆是点按一定“规 律”运动的轨迹. 点3是线段上一动点,分别以F“?为圆心,IA3I与I3CI为半径做圆, 观察两圆交点的轨迹. 请同学们思考: (1)在运动中,哪些量是不变的,哪些 量是变化的? (2)能不能把不变的量用数学表达式 表达出来? (3)点M,N (椭圆上的点)是以怎样 的规律进行运动的? (4)用这个规律能不能画出一个椭圆? (-)动手实验,亲身体会 用上面所总结的规律,指导学生互相合作(主要在于动手),体验画椭圆的 过程(课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板),并以此了解椭圆上的点的特征. 请两名同学上台画在黑板上. 在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验,一来是 为了给学生一个创造实验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律;二是通过实 践,为进一步上升到理论做准备. (三)归纳定义,完善定义 我们通过动画演示,实践操作,对椭圆有了一定的认识,下面由同学们归纳 椭圆的定义(学生分组讨论). 椭圆定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于IEEI=2c) 的点的轨迹叫做椭圆 在归纳椭圆定义的过程中,教师根据学生回答的情况,不断引导他们逐步加 深理解并完善椭圆的定义,在引导中突出体现“和”,“常数”及“常数”的范围 等关键词与相应的特征. 如:总结动画演示中两圆半径之和\MFx\ + \ MF, 1=1 AB \ (常数)得到椭圆上 点M到两定点距离之和为常数. 通过课件分别演示当两定点间距离等于线段I A3I长度时的轨迹(为一条线 段)和当两定点距离大于线段I A3 I长度时的轨迹(不存在),由学生完善椭圆定 义中常数的范围. 教师指出:两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. (四)合理建系,推导方程 由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方式, 把学生分成若干组,分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较,从中选择比 较简洁优美的形式确定为标准方程. 已知椭圆的焦距IE“ l=2c,(c〉0),椭圆上的动点M到两定点%的距离 之和为2a,求椭圆的方程. (1)以两个定点乙,%所在直线为x轴,线段气旦的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系.设\F,F2\ = 2c(c > 0),点M(x,y)为椭圆上任意一点,则 P =防网乌I + \MF2\ = 2a}(称此式为几何条件), 所以得 ^x-c)2 + y2 + ^x + c)2 + y2 = 2a (实现集合条件代数化), 化简,得 (a2 -c2)x2 +a2y2 = a2(a2 -c2) 注:这是本节的难点所在,通过课堂精心设问来突破难点:①化简含有根号的式 子时,我们通常有什么方法?②对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平 方?学生通过实践,发现对于这个方程,直接平方不利于化简,而整理后再平方, 最后能得到圆满的结果. (2)以线段乙F2中点为坐标原点,Fi F2所在直线为y轴建立平面直角坐 标系,所得椭圆方程为:ci~x~ +(a“-c2)y_ = a2(a“-c“) 相比之下,其它的建系方式不够简洁. 同学们观察右图,当3运动到线段 中点时,两圆半径相等,即 I MF} 1=1 MF2 1= a ,因 I1= c ,贝 U a2-c2 =\M0\2,不妨令a2-c2 =b2, (1)(2)所得的椭圆方程可化为: 22 -Y= 1,(。> Z?〉0) 27 2 a b 22 (2) 曲线的方程”的角度推导出了符合定义的 方程的曲线”的角度来说明以方程(1) (2) H5 = 1 ,(Q > /?〉0) 2 T 2 / a b (在这里教师指出:我们刚才只是从 点的坐标满足的方程,我们还需要从 的解为坐标的点都在曲线(椭圆)上,这个问题留给学生课后完成.) 我们称(1) (2)为椭圆的标准方程. 对标准方程的理解: 1. 所谓椭圆标准方程,一定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标 原点; 2222 2. 在二+「= 1与与 +谷=1这两个标准方程中,都有a>b>0的要求, a2 b2a1 b2 也就是说,焦点在哪个轴上,哪个对应的分式的分母就较大. (五) 应用举例,小结升华. 例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1) 平面内,到§(-2,0),旦(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.(是) (2) 平面内,到乌(0,-2),灼(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.(不是) (3) 平面内,到卒-2,0),旦(2,0)的距离之和为3的点的轨迹.(不是) 22 例2.方程—+ ^ = 1表示焦点在x轴上的椭圆,则a的取值范围为:(3,+8) a 3 22 例3.已知椭圆方程为二+土 = 1,则两焦点坐标为:(V7,o),(-V7,o) 169 小结:由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法. 1. 知识总结: 椭圆的定义,标准方程 2. 思想方法总结: 教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。 (六)、板书设计(略) 教案的设计说明: 数学教学是思维过程的教学,如何引导学生参与到教学过程中来,尤其是在 思维上深层次的参与,是促进学生良好的认知结构,培养能力,全面提高素质的 关键.数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非 常重要的意义.本节借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进 课堂,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,让学生在参与中学会学习、 学会合作、学会创新. 学生虽然对椭圆图形有所了解,但只限于感性认识,缺少理性的思考、探索 和创新,这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发,设计了 一对动点有规律的运动作一些理性的