2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题3圆锥曲线中的定值定点问题原卷版
专题3 圆锥曲线中的定值定点问题(原卷版) 1. 已知椭圆C:M + j = l(a>b>°)的离心率为牛,短轴一个端点到右焦点F的 距离为 (1) 求椭圆C的标准方程; (2) 过点F的直线/交椭圆于A、B两点,交y轴于F点,设 FA = W到直线PT , QT的距离都相等.若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请 说明理由. 22 4. 已知椭圆C:* + * = l(a邓>0)的左、右焦点分别为F〔, F2,且国月| = 4jL 17/jh 设 A 是C上一点,且 |A^| = —, |^|=j- (1)求椭圆C的方程; (2)若不与y轴垂直的直线/过点3(1,0),交椭圆C于E, F两点,试判断在x轴的 负半轴上是否存在一点T,使得直线TE与以斜率之积为定值?若存在,求出点T的 坐标;若不存在,请说明理由. 5. 已知动点P(x,y)(其中x 2 0)到定点F(l,0)的距离比点F到》轴的距离大1. (1)求点P的轨迹C的方程; 22 ②过椭圆G佥+ % = 1的右顶点作直线交曲线3AM两点,其中。为坐标原 点 ① 求证:OA1OB; ② 设OA.OB分别与椭圆相交于点D、E ,证明:原点到直线QE的距离为定值. 6. 已知椭圆E:% + ?^ = 1(q>/2>0),以抛物线y2 =4很乂的焦点为椭圆E的一个 顶点,且离心率为虫. 2 (1)求椭圆E的方程; (2)若直线l:y = kx + m[k^Q)与椭圆E相交于A、B两点,与直线x = -4相交于Q 点,P是椭圆E上一点,且满足OP = OA + OB (其中。为坐标原点),试问在x轴上 是否存在一点T,使得为定值?若存在,求出点T的坐标及。的值;若 不存在,请说明理由. 7. 已知椭圆M:「+当=1(。〉人>0)离心率为笠,椭圆M与y轴交于A, B两点 a b5 (A在下方),且|AB|=4.过点G(O,1)直线/与椭圆M交于C,。两点(不与A重合). (I )求椭圆M的方程; (II)证明:直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值. 22I Q \ 8. 己知椭圆C :与+ = 1(口>/7>0)的左、右焦点分别为F[, F2, Ml 1,-h椭圆 上一点,且|岫| + “可=4. (1)求椭圆C的方程 (2)过点M作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于另一点A, B,求证:直线AB过 定点,并求出定点的坐标. 22_ 9. 已知椭圆C:「+ % = l(a>/?>0)的左焦点为R(-近,0),且过点 a~ b (2)已知A,4分别为椭圆C的左、右顶点,Q为直线X = 1上任意一点,直线A0W,使得 \DM\=^-\PD\, (1) 求Af的轨迹的方程; (2) 若直线/与椭圆C相交于A , B两点,且以AB为直径的圆经过原点。,求证: 点。到直线AB的距离为定值. 22 14. 已知椭圆E:% + % = l(a>Z?>0)的左,右焦点分别为或,凡,IRE |=2, M a b 是椭圆E上的一个动点,且△屿%的面积的最大值为也. (1) 求椭圆E的标准方程; 若人(。,0), 3(0,3),四边形ABCD内接于椭圆E, AB//CD ,记直线AZ), BC 的斜率分别为灯,k2,求证:kK为定值. 15. 己知椭圆C:t +j = l(a>b>0)的离心率为手,以原点为圆心,椭圆的短半 轴长为半径的圆与直线x-y-2 = 0相切. (1) 求椭圆C的方程; (2) 设A、8分别为椭圆C的左、右顶点,动点;W满足MB LAB,直线AM与椭 圆交于点P (与A点不重合),以“3为直径的圆交线段3P于点N ,求证:直线“ 过定点. 16. 已知点F(1,O),直线l-.x = -l,驱为直角坐标平面上的动点,过动点必作/的 垂线,垂足为点Q,且满足成•(物2+MF) = 0,记驱的轨迹为C. (1) 求C的方程; (2) 若过F的直线与曲线C交于F,。两点,直线0P ,。。与直线x = l分别交于A, 8两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说 明理由.