2021第3章第3节利用导数解决函数的极值最值2
第三节 利用导数解决函数的极值、最值 [考点要求]1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多 项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). —奁实基础一愈一 课前自主回顾 推皿苴点 [:必备知识填充] 1. 函数的极值 函数y=/(x)在点x=a的函数值/(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f (a)=0,而且在点x=a附近的 左侧若函数/(x)在[a, b]±.单调递 减,则地为函数的最大值,您1为函数的最小值. [常用结论] 1. 若函数在开区间(a,幻内的极值点只有一个,则相应极值点为函数的最值点. 2. 若函数在闭区间[a, b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点. [学情自测验收] 一、思考辨析(正确的打“ J ”,错误的打“ X”) (1) 函数的极大值不一定比极小值大.() (2) 对可导函数fix), f (x0)=0是xo点为极值点的充要条件.() (3) 函数的极大值一定是函数的最大值.() (4) 开区间上的单调连续函数无最值.() 二、教材改编 1. 函数/U)的定义域为R,导函数/⑴的图象如图所示,则函数人x)() A. 无极大值点、有四个极小值点 B. 有三个极大值点、一个极小值点 C. 有两个极大值点、两个极小值点 D. 有四个极大值点、无极小值点 2 2. 设函数/U)=g+lnx,则() A. x=^f(x)的极大值点 B. 尤=§为川)的极小值点 C. D. 3. 4. x=2为/U)的极大值点 •r=2为/U)的极小值点 函数y=xex的最小值是. 函数月对=*—a In x(a>0)的极小值为. 一卷箜宣考一耘一 课堂考点探究 缨寅缨率 考点1利用导数解决函数的极值问题 鼠通法 利用导数研究函数极值问题的一般流程 求 用 极 值极 值 解方程/G)=o 知方程/ G)=o根的情况 验根左衣TG)的符号| I得关于参数的方程竺笠武2] |参数值(范围)| 极值 |求定义域| |求导数r G) | 考向1 根据函数图象判断函数极值的情况 设函数Rx)在R上可导,其导函数为/⑴, 下列结论中一定成立的是() 函数犬x)有极大值犬2)和极小值犬1) 函数/W有极大值人一2)和极小值犬1) 函数有极大值犬2)和极小值犬一2) 函数〃)有极大值犬一2)和极小值人2) 且函数y=(X~x)f(x)的图象如图所示,则 A. B. C. D. 考向2求已知函数的极值 啪典例 已知函数必)=3—2炉一小,当”>0时,讨论/W的极值情况. [教师备选例题] 设函数f(x)=\n (x+i)+a(^—x),其中“UR.讨论函数汽工)极值点的个数,并说明理由. 考向3已知函数极值求参数的值或范围 嬲典例(1)已知f(x)=x3 + 3ax2+bx+cr在x= — 1时有极值0,则a~b= n1 ⑵若函数川)=§一万*+工+1在区间(万,3)上有极值点,则实数。的取值范围是. [教师备选例题] 若函数 J(x)=ex—a \nx+2ax~l 在(0, + 8)上恰有两个极值点,则。的取值范围为( ) A. (―e2, — e) B. (-8, -D C. (- 8, -£) D. (一8,— e) 曜典题1.若X=—2是函数处)=仃+ /1—1户「1的极值点,则必)的极小值为() A. -1 B. -2e-3 C. 5e-3 D. 1 2.已知函数fix)=x(x-c)-在x=2处有极小值,则实数c的值为() A. 6 B. 2 C. 2 或 6 D. 0 3. (2019•长春市质量监测)若函数» =(A 2+ar+3)er在(0, +8)内有且仅有一个极值点,则实数“的取值范围 是() A. ( — 8, -2^2]B. ( — 8, -2^2) C. ( — 8, -3]D. (—8, -3) 考点2用导数求函数的最值 ■通法求函数40在[a, b]上的最大值、最小值的步骤 (1) 求函数在(a, b)内的极值. (2) 求函数在区间端点的函数值fid), fib). (3) 将函数Rx)的极值与»,犬力)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值. 典例(2019・全国卷III)已知函数人x) = 2x3-ax-+b. (1) 讨论Rx)的单调性; (2) 是否存在a, b,使得八刀)在区间[0, 1]的最小值为一1且最大值为1?若存在,求出a, b的所有值;若不存 在,说明理由. [教师备选例题] 已知函数 fix ) = In X—ax(a 6 R). (1) 求函数4D的单调区间; (2) 当。>0时,求函数处)在[1,2]上的最小值. 曜典题(2019•郑州模拟)已知函数f(x)=^~^-+klnx,求函数/X)在g,e]上的最大值和最小值. 考点3利用导数研究生活中的优化问题 鼠通法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1) 分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=». (2) 求函数的导数f(x),解方程f(x)=O. (3) 比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4) 回归实际问题,结合实际问题作答. 翊典例某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满 足关系式尸左+103—6已 其中3