2021第3章第3节利用导数解决函数的极值最值2

第三节 利用导数解决函数的极值、最值 ［考点要求］1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值其中多 项式函数一般不超过三次.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值其中多项式函数一般不超过三次. 奁实基础一愈一 课前自主回顾 推皿苴点 ［必备知识填充］ 1. 函数的极值 函数y/x在点xa的函数值/a比它在点xa附近其他点的函数值都小，f a0,而且在点xa附近的 左侧0,右侧贝U点。叫做函数yfi.x的极小值点，加叫做函数yfix的极小值. 函数y/x在点xb的函数值大力比它在点xb附近其他点的函数值都大,f b0,而且在点xb附近的 左侧，x0,右侧 0,则点叫做函数y/x的极大值点，彤叫做函数必的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 2. 函数的最值 1 在闭区间［a,用上连续的函数九x在［s用上必有最大值与最小值. 2 若函数/U在［a,用上单调递增，则地1为函数的最小值，力为函数的最大值;若函数/x在［a, b］.单调递 减，则地为函数的最大值，您1为函数的最小值. ［常用结论］ 1. 若函数在开区间a,幻内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点. 2. 若函数在闭区间［a, b］的最值点不是端点，则最值点亦为极值点. ［学情自测验收］ 一、思考辨析正确的打“ J ”，错误的打“ X” 1 函数的极大值不一定比极小值大. 2 对可导函数fix, f x00是xo点为极值点的充要条件. 3 函数的极大值一定是函数的最大值. 4 开区间上的单调连续函数无最值. 二、教材改编 1. 函数/U的定义域为R,导函数/⑴的图象如图所示，则函数人x A. 无极大值点、有四个极小值点 B. 有三个极大值点、一个极小值点 C. 有两个极大值点、两个极小值点 D. 有四个极大值点、无极小值点 2 2. 设函数/U）glnx,则（） A. xf（x）的极大值点 B. 尤为川）的极小值点 C. D. 3. 4. x2为/U）的极大值点 r2为/U）的极小值点 函数yxex的最小值是. 函数月对*a In x（a0）的极小值为. 一卷箜宣考一耘一 课堂考点探究 缨寅缨率 考点1利用导数解决函数的极值问题 鼠通法 利用导数研究函数极值问题的一般流程 求 用 极 值极 值 解方程/G）o 知方程/G）o根的情况 验根左衣TG）的符号| I得关于参数的方程竺笠武2］ |参数值（范围）| 极值 |求定义域| |求导数rG） | 考向1 根据函数图象判断函数极值的情况 设函数Rx）在R上可导，其导函数为/⑴， 下列结论中一定成立的是（） 函数犬x）有极大值犬2）和极小值犬1） 函数/W有极大值人一2）和极小值犬1） 函数有极大值犬2）和极小值犬一2） 函数〃）有极大值犬一2）和极小值人2） 且函数y（Xx）f（x）的图象如图所示，则 A. B. C. D. 考向2求已知函数的极值 啪典例 已知函数必）32炉一小，当”0时，讨论/W的极值情况. ［教师备选例题］ 设函数f（x）\n （xi）a（x）,其中UR.讨论函数汽工）极值点的个数，并说明理由. 考向3已知函数极值求参数的值或范围 嬲典例（1）已知f（x）x3 3ax2bxcr在x 1时有极值0,则ab n1 ⑵若函数川）一万*工1在区间（万，3）上有极值点，则实数。的取值范围是. [教师备选例题] 若函数 Jxexa \nx2axl 在0, 8）上恰有两个极值点，则。的取值范围为（ A. e2, e B. -8, -D C. - 8, - D. 一8, e 曜典题1.若X2是函数处）仃 /11户「1的极值点，则必）的极小值为（） A. -1 B. -2e-3 C. 5e-3 D. 1 2.已知函数fix）x（x-c）-在x2处有极小值，则实数c的值为（） A. 6 B. 2 C. 2 或 6 D. 0 3. （2019长春市质量监测）若函数 （A2ar3）er在（0, 8）内有且仅有一个极值点，则实数“的取值范围 是（） A. （ 8, -22]B. （ 8, -22） C. （ 8, -3]D. （8, -3） 考点2用导数求函数的最值 ■通法求函数40在［a, b］上的最大值、最小值的步骤 1 求函数在a, b内的极值. 2 求函数在区间端点的函数值fid, fib. 3 将函数Rx的极值与,犬力比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值. 典例2019・全国卷III已知函数人x 2x3-ax-b. 1 讨论Rx的单调性； 2 是否存在a, b,使得八刀在区间［0, 1］的最小值为一1且最大值为1若存在，求出a, b的所有值；若不存 在，说明理由. ［教师备选例题］ 已知函数 fix In Xaxa 6 R. 1 求函数4D的单调区间； 2 当。＞0时，求函数处在［1，2］上的最小值. 曜典题2019郑州模拟已知函数fx-klnx,求函数/X在g，e］上的最大值和最小值. 考点3利用导数研究生活中的优化问题 鼠通法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y. 2 求函数的导数fx,解方程fxO. 3 比较函数在区间端点和fx0的点的函数值的大小，最大小者为最大小值. 4 回归实际问题，结合实际问题作答. 翊典例某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y单位千克与销售价格x单位元/千克满 足关系式尸左1036已 其中3x6, a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. 1 求a的值； 2 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 曜典题 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池不计厚度.设该蓄水池的底面半径为,米，高为h米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本 为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000兀元兀为圆周率. 1 将V表示成r的函数Vr,并求该函数的定义域. 2 讨论函数Vr的单