2022届高中数学新人教A版必修第一册第3章微专题2二次函数的最值问题学案
微专题2二次函数的最值问题 与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点,其可以较全面的体现直观想象、 逻辑推理及数学运算的素养.本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法. 类型1不含参数的二次函数最值问题 【例1】已知函数/(x) = 3/—12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最 大值和最小值. (1) R; (2)[0,3]; (3)[ —1,1]. [解] »=3^-12x+5=3(x-2)2-7,作出函数y=Kx)的图象,如图所示. (1) 当 xGR 时,Kr)=3(x—2)2—7N — 7,当 x=2 时,等号成立. 故当xSR时,函数矣c)的最小值为一7,无最大值. (2) 由图可知,在[0,3]上,函数Rx)在x=0处取得最大值,最大值为5;在x=2处取得 最小值,最小值为一7. (3) 由图可知,函数/(x)在[—1,1]上单调递减,在x= — 1处取得最大值,最大值为20; 在x=l处取得最小值,最小值为一4. 类型2含参数的二次函数最值问题 【例2】求函数犬工广%2—2破一 10为常数)在[0,2]上的最值. [解]f(x)—(x—a)2— 1 ~a2,对称轴为直线 x=a. (1)当 ”0, [g(l) = 0,[―m+l+n=0,[m=l, ・.•依题意得即 _ ,解得 [g(3)=4,〔3祖+1+〃=4,〔乃=0. g(x)=x2—2x+1. g(x)—2x, 1 (2)・.如)=—,.如)=土一4. —fcxWO在工右g, 8时恒成立,即尤+?—4—fcxWO在工£8时恒成立, 心向2— +1在尤e8时恒成立. 8 1-8 - 一 只需kN 一41 令 r=p 由 I,8,得I,8 设 h(t)=户一4/+1 = (7—2)2—3, 则函数/z。)图象的对称轴方程为t=2, •当t=8时,函数/z。)取得最大值33, k^h(f)max — /z(8)= 33 , ・.・实数k的取值范围为[33, +8).