2022届高中数学新人教A版必修第一册第3章微专题2二次函数的最值问题学案

微专题2二次函数的最值问题 与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、 逻辑推理及数学运算的素养.本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法. 类型1不含参数的二次函数最值问题 【例1】已知函数/x 3/12x5,当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最 大值和最小值. 1 R； 2［0,3］； 3［ 1,1］. ［解］ 3-12x53x-22-7,作出函数yKx的图象，如图所示. 1 当 xGR 时，Kr3x227N 7,当 x2 时，等号成立. 故当xSR时，函数矣c的最小值为一7,无最大值. 2 由图可知，在［0,3］上，函数Rx在x0处取得最大值，最大值为5;在x2处取得 最小值，最小值为一7. 3 由图可知，函数/x在［1,1］上单调递减，在x 1处取得最大值，最大值为20; 在xl处取得最小值，最小值为一4. 类型2含参数的二次函数最值问题 【例2】求函数犬工广22破一 10为常数在［0,2］上的最值. ［解］fxxa2 1 a2,对称轴为直线 xa. 1当 ”0 时，由图①可知，/UminR0 1, _/Umax A2 3 4a. ⑵当 0Wal 时，由图②可知，犬工血/0 1一12, /xmaxA23-4a. 3当 1W“W 2 时，由图③可知，Amin-l-2, /Umax A0 1. 图③ 图④ ⑷当 a2 时，由图④可知，RxmiR /2 34a, /UmaxRO 1. 1, qvO, 综上， 1心 0WoW2, 、34。，。2, Axmax 34。， a\, 1,。31. 【例3】求函数J［xx12x2在区间［f, f1］上的最小值gf. [解]人乃二22x2x-121, xe[t, f1], tR,对称轴为直线 xl. 当fll,即tQ时，函数图象如图①所示, 函数/U在区间E /1］上单调递减，所 以最小值为冷1户1； 当fWlWf1,即OWlWl时，函数图象如图②所示，最小值为犬11； 当rl时，函数图象如图③所示，函数关0在区间［71］上单调递增，所以最小值为 冷户 一 2r2. t2 1, t0, 综上可得，OWfWl, 一2f2, t\. 类型3与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例4】 已知二次函数亦*2mx〃lni0在区间［0,3］上有最大值4,最小值 0. 1求函数gx的解析式; 2设〃就牛竺，若人盼一奴W0在世8时恒成立，求实数k的取值范围. [解]1 Vx mxI2m1n, ・.・函数gx图象的对称轴方程为xl.又・..m0, [gl 0,[mln0,[ml, ・.依题意得即 _ ,解得 [g34,〔3祖1〃4,〔乃0. gxx22x1. gx2x, 1 2・.如，.如土一4. fcxWO在工右g, 8时恒成立，即尤4fcxWO在工8时恒成立, 心向21在尤e8时恒成立. 8 1-8 - 一 只需kN 一41 令 rp 由 I，8，得I，8 设 ht户一4/1 7223, 则函数/z。图象的对称轴方程为t2, ..当t8时，函数/z。取得最大值33, khfmax /z8 33 , ・.・实数k的取值范围为［33, 8.