2021高考数学专题讲义《椭圆题型归纳》
椭圆典型题型归纳 题型一.定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆C:(.x + 4)2 + v2 =100相内切,且过点A(4,0),求这个动圆圆心M 的轨迹方程; 例2,方程37(x-1)2+(>-1)2 =卜++ 2|所表示的曲线是 练习: 1. 方程 J(x_3)2 + y2 +J(x + 3)2 + y2 =6对应的图形是() A.直线B.线段C.椭圆D.圆 2. 方程 J(X —3)2 + y2 + J(x + 3)2+y2 =10对应的图形是() A.直线B.线段C.椭圆D.圆 3. 方程y/x2+(y + 3)2 + + y/x2+(y-3)2 =10成立的充要条件是() 4.如果方程y/x2 +(y + m)2 + + Jj? +(々 一〃?)2 = 〃? +1表示椭圆,则m的取值范围是 5. 过椭圆9x2+4v2 =1的一个焦点g的直线与椭圆相交于A,3两点,则A,3两点与椭圆的 另一个焦点F2构成的AABF2的周长等于; 6. 设圆(x + l)2+ ;/=25的圆心为C, A(l,0)是圆内一定点,Q为圆周上任意一点,线段 AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M ,则点M的轨迹方程为; 题型二.椭圆的方程 (一) 由方程研究曲线 22 例1.方程土+匕=1的曲线是到定点和的距离之和等于的 16 25 点的轨迹; (二) 分情况求椭圆的方程 例2,已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程; (三)用待定系数法求方程 例3.己知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点4(、万,1)、^(-73,-72) > 求椭圆的方程; 例4.求经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4/=36有共同焦点的椭圆方程; 2222 注:一般地,与椭圆4+^=1共焦点的椭圆可设其方程为^―+己一=蛀〉-/); a, b,a~+k b“+k (四)定义法求轨迹方程; 例5.在AABC中,C所对的三边分别为a,b,c,且3(T) ©C,求满足5>a>c 且A, a, c成等差数列时顶点A的轨迹; (五)相关点法求轨迹方程; 例6.已知x轴上一定点4(1,0),。为椭圆一 +y2 =1上任一点,求AQ的中点M的轨迹 4 方程; (六)直接法求轨迹方程; 例7.设动直线/垂直于x轴,且与椭圆x2+2/=4交于A,3两点,点P是直线Z上满足 |PA| |PB|=1的点,求点P的轨迹方程; (七)列方程组求方程 例8.中心在原点,一焦点为F(0,应)的椭圆被直线y = 3x-2截得的弦的中点的横坐标 为』,求此椭圆的方程; 2 题型三.焦点三角形问题 22、 例1.已知椭圆—+ ^ = 1± 一点P的纵坐标为2,椭圆的上下两个焦点分别为%、“ 求“鸟|、\PF2\RcosZF}PF2; 题型四.椭圆的几何性质 22、 例1.已知P是椭圆二+七=1上的点,的纵坐标为2, §、F,分别为椭圆的两个焦点, a b3 椭圆的半焦距为C,则|p^| \PF2\的最大值与最小值之差为 22 例2.椭圆二+七=1(。>人〉0)的四个顶点为A,B,GQ,若四边形ABC。的内切圆恰 a b 好过焦点,则椭圆的离心率为; 22] 例3.若椭圆二+匕=1的离心率为一,则上=; R + 1 42 22 例4.若P为椭圆二+ % = 1(。〉力〉0)上一点,§、F,为其两个焦点,且ZPF^ =15°, a b ZPF』=75°,则椭圆的离心率为 题型五.求范围 例1.方程二+ 广2 T表示准线平行于X轴的椭圆,求实数“Z的取值范围; m (m-1) 题型六.椭圆的第二定义的应用 例1.方程2j(」_l)2+(y_l)2 = |x+ y + 2|所表示的曲线是 例2.求经过点M(l,2),以y轴为准线,离心率为!的椭圆的左顶点的轨迹方程; 225 例3.椭圆土 +匕=1上有一点P,它到左准线的距离等于?,那么P到右焦点的距离为 2592 22 例4.已知椭圆 j + %- = l,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点使它到 左准线的距离为它到两焦点鸟,%距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。 例5.已知椭圆寻+ %- = 1内有一点A(l,l),“ 旦分别是椭圆的左、右焦点,点P是 椭圆上一点.求\P^ + j\PF2\的最小值及对应的点P的坐标. 题型七.求离心率 22 例1.椭圆二+ [ = 1(。>人>0)的左焦点为鸟(―c,0), A(—a,0), B(O,b)是两个顶点, a b 如果K到直线A8的距离为 则椭圆的离心率e = 例2.若P为椭圆「+ % = 1(。〉力〉0)上一点,F[、F,为其两个焦点,且ZPFR = a , cT b~ ZPF2F} = 2tz,则椭圆的离心率为 例3. F]、吗为椭圆的两个焦点,过心的直线交椭圆于P,Q两点,PF,1PQ,且 |P再| = |P。,贝懈圆的离心率为; 题型八.椭圆参数方程的应用 22 例1. 椭圆—+ ^ = 1±的点P到直线x-2v + 7= 0的距离最大时,点P的坐标 43 例2.方程一子sina-y2 cos« = 1 (0<(z 0 )与连结A(—1,1), 3(2,3)的线段没有公共点,求a的取 值范围。 例3.过点P(-V3, 0)作直线/与椭圆3x2+4^2=12相交于A,3两点,。为坐标原点,求 △Q43面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析:若直接用点斜式设I的方程为y-0 = ^(x + 73),贝。要求I 的斜率一定要存在,但在这里/的斜率有可能不存在,因此要讨论 斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线/的方程为 x^my-^3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化 了运算。 解:设人(工1,弟,3(工2况),Z: x-my -^3 SMoB=^\OP\-\yi\+^\OP\-\y2 1=7^(成 1 + 1% 1)=而(北—%) 3 3m2 + 4 把 x = my — Ji 代入椭圆方程得:3(m2y2 - 2^my + 3) + 4y2 -12 = 0 ,即 (3m2 + 4)y2 - 6V3my -3 = 0, Ji + y2 = 6^m 3m + 4 ,I 108m2 vT~ 1 r~ ‘1 — % =」5T H5 = 5v 14 1 急 丫(3〃2+4)2 3m2+4 3m2+4 4a/9m2 + 3 _ 4^/3 . V3m2 +1 _ 4V3 . V3m2 +1 3m2 + 43m2 + 4(3m2