2021高考数学专题讲义《椭圆题型归纳》

椭圆典型题型归纳 题型一.定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆C.x 42 v2 100相内切，且过点A4,0,求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2,方程37x-12-12 卜 2|所表示的曲线是 练习 1. 方程 Jx_32 y2 Jx 32 y2 6对应的图形是 A.直线B.线段C.椭圆D.圆 2. 方程 JX 32 y2 Jx 32y2 10对应的图形是 A.直线B.线段C.椭圆D.圆 3. 方程y/x2y 32 y/x2y-32 10成立的充要条件是 4.如果方程y/x2 y m2 Jj 々 一〃2 〃 1表示椭圆，则m的取值范围是 5. 过椭圆9x24v2 1的一个焦点g的直线与椭圆相交于A,3两点，则A,3两点与椭圆的 另一个焦点F2构成的AABF2的周长等于； 6. 设圆x l2 ；/25的圆心为C, Al,0是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M ,则点M的轨迹方程为； 题型二.椭圆的方程 一 由方程研究曲线 22 例1.方程土匕1的曲线是到定点和的距离之和等于的 16 25 点的轨迹； 二 分情况求椭圆的方程 例2,已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P3,0,求椭圆的方程; （三）用待定系数法求方程 例3.己知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点4（、万,1）、（-73,-72） 求椭圆的方程； 例4.求经过点（2,-3）且与椭圆9x24/36有共同焦点的椭圆方程； 2222 注一般地，与椭圆41共焦点的椭圆可设其方程为己一蛀〉-/）； a， b，ak bk （四）定义法求轨迹方程； 例5.在AABC中，C所对的三边分别为a,b,c,且3（T） C，求满足5ac 且A, a, c成等差数列时顶点A的轨迹； （五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x轴上一定点4（1,0）,。为椭圆一 y2 1上任一点，求AQ的中点M的轨迹 4 方程； （六）直接法求轨迹方程； 例7.设动直线/垂直于x轴，且与椭圆x22/4交于A,3两点，点P是直线Z上满足 |PA| |PB|1的点，求点P的轨迹方程； （七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为F（0,应）的椭圆被直线y 3x-2截得的弦的中点的横坐标 为』，求此椭圆的方程； 2 题型三.焦点三角形问题 22、 例1.已知椭圆 1 一点P的纵坐标为2,椭圆的上下两个焦点分别为％、 求鸟|、\PF2\RcosZF}PF2； 题型四.椭圆的几何性质 22、 例1.已知P是椭圆二七1上的点，的纵坐标为2, 、F,分别为椭圆的两个焦点， a b3 椭圆的半焦距为C,则|p| \PF2\的最大值与最小值之差为 22 例2.椭圆二七1。＞人〉0的四个顶点为A,B,GQ，若四边形ABC。的内切圆恰 a b 好过焦点，则椭圆的离心率为； 22] 例3.若椭圆二匕1的离心率为一，则上； R 1 42 22 例4.若P为椭圆二 1。〉力〉0上一点，、F,为其两个焦点，且ZPF 15, a b ZPF』75，则椭圆的离心率为 题型五.求范围 例1.方程二 广2 T表示准线平行于X轴的椭圆，求实数Z的取值范围; m m-1 题型六.椭圆的第二定义的应用 例1.方程2j」_l2y_l2 |x y 2|所表示的曲线是 例2.求经过点Ml,2,以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程； 225 例3.椭圆土 匕1上有一点P,它到左准线的距离等于，那么P到右焦点的距离为 2592 22 例4.已知椭圆 j - l,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点使它到 左准线的距离为它到两焦点鸟,％距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 例5.已知椭圆寻 - 1内有一点Al,l, 旦分别是椭圆的左、右焦点，点P是 椭圆上一点.求\P j\PF2\的最小值及对应的点P的坐标. 题型七.求离心率 22 例1.椭圆二 ［ 1。人0的左焦点为鸟c,0, Aa,0, BO,b是两个顶点, a b 如果K到直线A8的距离为 则椭圆的离心率e 例2.若P为椭圆「 1。〉力〉0上一点，F［、F,为其两个焦点，且ZPFR a , cT b ZPF2F} 2tz，则椭圆的离心率为 例3. F］、吗为椭圆的两个焦点，过心的直线交椭圆于P,Q两点，PF,1PQ,且 |P再| |P。，贝懈圆的离心率为； 题型八.椭圆参数方程的应用 22 例1. 椭圆 1的点P到直线x-2v 7 0的距离最大时，点P的坐标 43 例2.方程一子sina-y2 cos 1 0z m表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围； 题型九.直线与椭圆的关系 1直线与椭圆的位置关系 例1.当为何值时，直线ly xm与椭圆9x216y2 144相切、相交、相离 例2.曲线2x2 y22a2 a 0 与连结A1,1, 32,3的线段没有公共点，求a的取 值范围。 例3.过点P-V3, 0作直线/与椭圆3x24212相交于A,3两点，。为坐标原点，求 △Q43面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析若直接用点斜式设I的方程为y-0 x 73，贝。要求I 的斜率一定要存在，但在这里/的斜率有可能不存在，因此要讨论 斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线/的方程为 xmy-3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化 了运算。 解设人工1，弟,3工2况，Z x-my -3 SMoB\OP\-\yi\\OP\-\y2 17成 1 1 1而北％ 3 3m2 4 把 x my Ji 代入椭圆方程得3m2y2 - 2my 3 4y2 -12 0 ,即 3m2 4y2 - 6V3my -3 0, Ji y2 6m 3m 4 ,I 108m2 vT 1 r ‘1 」5T H5 5v 14 1 急 丫3〃242 3m24 3m24 4a/9m2 3 _ 4/3 . V3m2 1 _ 4V3 . V3m2 1 3m2 43m2 43m2