2021年高考数学一轮复习讲练测专题22基本不等式及其应用讲义原卷版
『高考一轮复习-讲练测』 『分项解析•逐一击破J 专题2.2 基本不等式及其应用 【考纲解读与核心素养】 1. 掌握基本不等式->4ab (a, b>0)及其应用. 2. 培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养. 【知识清单】 1. 重要不等式 当Z?是任意实数时,有a2+b2>2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2. 基本不等式 当q>0, 8>0时有a + > J~ab ,当且仅当a=b时,等号成立. 2 3. 基本不等式与最值 已知工、y都是正数. ⑴若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2) 若xy=p{积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值. 4 .常用推论 (1) ab V “ *” ( a,b^R ) 2 (2) ab 0, Z? > 0 );> () 222 (3) 0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的 x 单调性求解. 【变式探究】 1. (陕西省2019年高三第三次教学质量检测)若正数m,“满足2m + n = l,则—+ -的最小值为() m n A. 3 + 2扼B. 3 + a/2 C. 2 + 2yf2D. 3 2. 设x > 0,当x =时,x + 上取到最小值. 【总结提升】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面 的问题: (1) 拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形; (2) 代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3) 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 高频考点三:基本不等式的实际应用 例4. (2017-江苏高考真题)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的 总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是. 【规律方法】 1. 用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1) 理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2) 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3) 在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4) 正确写出答案. 2. 利用基本不等式求解实际应用题注意点: (1) 此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求 解. (2) 当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时 可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【易错警示】忽视不等式等号成立的条件! 【变式探究】如图,有一块等腰直角三角形A8C的空地,要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH的绿 地,已知AB±AC,AB = 4,绿地面积最大值为() A.6B.4a/2C.4D.2>/2 高频考点四:基本不等式的综合运用 例5. (2020•黑龙江省佳木斯一中高一期中(理))已知函数/(x) = (m + l)x2 — nvc + m — l ( m w R ). (1) 若不等式/W0的解集为D,若[-U]cD,求m的取值范围. 例 6.设函数/ (x) = x2 —3x (I )若不等式/ (X)> m对任意x e [0,1]恒成立,求实数ni的取值范围; (II)在(I)的条件下,当m取最大值时,设% > 0- y>0且2x+4y + m = 0,求j + j的最小值. 【总结提升】 基本不等式的综合应用求解策略 (1) 应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解. (2) 条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3) 求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得到参数的值或范围. 【变式探究】 1. (2019-北京海淀模拟)已知»=3^-^+1)-3 +2,当xeR时,川)恒为正值,则左的取值范围是() A. (-os, -1)B. (-00, 2^2-1) C. (-1,2^2-1)D. (-272-1,2^2-1) 2. (天津市河北区2019届高三二模)已知首项与公比相等的等比数列{a”}中,若m,〃eN*,满足 aman: = a4-,则二+土的最小值为• rn n * m n