2021复习有方法板块1命题区间精讲精讲14双曲线2
双曲线 命题点i双曲线的定义及标准方程 翁解题必备 1. 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而 根据要求可求出双曲线方程. 2. 在“焦点三角形“中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结^\PFi~PF2\ = 2a,运用平方的方法,建立与|PFi|・|PF2|的联系. 3. 利用待定系数法求双曲线方程要先定形,再定量,如果已知双曲线的渐 近线方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为,一右=久(久尹0),再由条件求出2 的值即可. [高考题型全通关] 1. (2020-合肥调研)巳知双曲线的渐近线方程为y=与,实轴长为4,则该 双曲线的方程为() A- ■ 乙l) z 2? 所以b=2\[2,所以双曲线的方程为?一§=1. 4 o 综上所述,该双曲线的方程为g—普=1或¥—§=1,故选D.] 4 Z4 o 2. (2020-唐山模拟)双曲线C:号一>2=1(。>0)的右焦点为兄 点尸为。的 一条渐近线上的点,。为坐标原点.若|PO| = |PF|,则&OFF的最小值为() 1-2 B. 1-4 A. C. 1 D. 2 B [不妨设点p在渐近线.y=)上,由题意知fW+L 0). 因为 \PO\ = \PF\,所以“夹旦,则 Se=|\M2+ix C = “£1=%+9话,当且仅当。=1时取“=“,故选B.] 3. (2020-广东四校联考)P是双曲线C: f-y2=1右支上一点,直线/是双 曲线。的一条渐近线.P在I上的射影为Q, Fi是双曲线C的左焦点,则|PFi| + \PQ\的最小值为() A. 1B. 2+尊 C. 4+尊D. 2^2+1 D [设双曲线的右焦点为Fi,因为”刊|一|月可=2检,所以”用| = 2彖+ |PF2|, IFF]I+\PQ\ = 2^2 + \PF2\+\PQ\,当且仅当 Q, P,形三点共线,且 P 在 0 形之间时,\PF2\+\PQ\最小,且最小值为点列到直线/的距离.由题意可得直线 /的方程为y=±*:,焦点F邺,0),点F2到直线Z的距离d=\,故IPQI+IPF1I 的最小值为2^2+1,选D.] v2 V22\15 4. (2020-大同调研)已知Fi,列是双曲线Af:才一扁=1的焦点,y=~^~x是 3 双曲线肱的一条渐近线,离心率等于j的椭圆E与双曲线肱的焦点相同,P是 椭圆E与双曲线肱的一个公共点,则|PFi|-|PF2| = () A. 8 B. 6 C. 10 D. 12 D [由Af的一条渐近线的方程为丁=*^=嘉》,所以嘉,得秫2 = 5, 所以M的半焦距c=3. 3 因为椭圆E与双曲线M的焦点相同,且椭圆E的离心率e=R 所以E的长 半轴长a = 4.不妨设|PFi|>|PF2|,根据椭圆与双曲线的定义有|PFi| + |PF2| = 8, |PFi|-|PF2| = 4,解得\PFi\ = 6, |PF2| = 2,所«|PFi|-|PF2|= 12,故选 D.] 5. (2020-东营模拟)设双曲线§一g=l的左、右焦点分别为Fi, F2,过Fi 的直线/交双曲线左支于A, 3两点,则|AF2| + |5F2|的最小值为() A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 C [由题意得双曲线的实半轴长。=2,虚半轴长力 根据双曲线的定义得\AF2\-\AFi\ = 2a = 4-①, |3丑|一|3乩| = 2。= 4②, ①+②得 |AF2| + |BF2|=|AFi|+}BFi | + 8 = |A3|+8. 2h2 又|A5|min=—=3,所以|4虎|+|3丑|的最小值为11,故选C.] r2 v2 6. (2020-济南模拟)已知双曲线广:^~p=l(a>0,》>0)的左、右焦点分别 为Fi,理,点P是双曲线厂的右支上异于顶点的一个点,SF1F2的内切圆的圆 心为/,过形作直线巧的垂线,垂足为为,。为坐标原点,则以下结论正确的 是() A. APFiF2的内切圆的圆心/在直线x=o上 B. \OM\=a C. 若ZFlIF2=0,则△FF1F2 的面积为一IrtanO D. APF1F2的内切圆与x轴的切点为(c—a, 0) ABC [设内切圆与△PF1F2的边F1F2, F2P, FlP分别切于点A, B, C(图略), 切点 A 的坐标为(&, 0),贝 ]|PFi | - \PF2\ = \PC\ + |CFi I - \PB\ - \BF2\ = \CFi \ - \BF2\ = |AFi| — [AF2I = (c+xo)—(c—xo) = 2xo = 2a,所以 xo=ci,连接 Z4,则 £4_Lx 轴, 所以A正确,D不一定正确;设直线F2M交PFi于D,因为PM是ZFiPF2的平 分线,JL PM±F2D,所以△PDF2是等腰三角形,即\PD\ = \PF2\,所以|PFi| —|月句 = \DFi\ = 2a,又易得M是线段DF2的中点,。是线段F1F2的中点,所以|。物= ||FiD| = a,故 B 正确;在△PF1F2 中,设ZFiPF2 = a,因 ^\PFi\-\PF2\=2a,所 2b21 以结合余弦定理可得|PFi|-|PF2|=—,所以△ PFiF2的面积S=^|PFi|-|PF2|-sin JL COS Ok乙 Z?2sin a a=. 1—cos a 因为Z/F1F2+ ZIF2Fi + 0=ti,即§(兀一a) + 9=7i,所以 a = 20—n,所以 S= 〜2sin(2。一兀) Z^sin 2。 1 — cos(29—兀)1 + cos 20 2/?2sin Ocos 0 2cos20 Z?2tan 6,所以C正确.] 7. (2020.江西红色七校第一次联考)双曲线C:户一§= 1的左、右焦点分别 为Fi,F2,点P在。上且tanZFiPF2=4^/3,。为坐标原点,则|0P|=. \[5 [因为 tan/FiPF2 = 5,所以 sinZFiPF2=^, cosZFiPF2=|. 由余弦定理 |FiF2|2 = |PFi|2 + |PF2|2-2|PF1|-|PF2|-cosZFiPF2, 2 得 IF1F2I2=|PF1|2 + |PF2|2-y-|PFi|-|PF2|= 16, 又||PFi|-|PF2|| = 2,所以\PFi\-\PF2\ = 7, 则△ FiPF?的面积为*PFi|・|PF2|・sinZFiPF2 = 2q§. 设 P(xo, yo),因为△ F1PF2 的面积为|-2c-|yo| = 2V3,所以|园=/§, 代入X2—;= 1得麻=2,所以”。|=寸2 + 3=屈 8. [一题两空](202