四边形培优题及答案
1.(2019河南)如图,在菱形ABCD中,AB=2,,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不及点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN. (1)求证:四边形AMDN是平行四边形; (2)填空并证明:①当AM的值为 时,四边形AMDN是矩形; ②当AM的值为 时,四边形AMDN是菱形. 2. (2019浙江杭州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分别以AB,CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF,连接AF,DE. (1)求证:AF=DE; (2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积,求BC的长. 【答案】(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴∠BAD=∠CDA。 ∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中,AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60°, ∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA。 ∴△AED≌△DFA(SAS)。∴AF=DE。 (2)解:如图作BH⊥AD,CK⊥AD,则有BC=HK。 ∵∠BAD=45°,∴∠HAB=∠KDC=45°。 ∴AB=BH=AH。 同理:CD=CK=KD。 ∵S梯形ABCD=,AB=a, ∴S梯形ABCD=。 又∵S△ABE=S△DCF=, ∴,解得:。 【考点】等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质。 【分析】(1)依据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。 (2)如图作BH⊥AD,CK⊥AD,利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。 3.(2019江苏南京)如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,ACBD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 (1)求证:四边形EFGH为正方形; (2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积。 【答案】(1)证明:在△ABC中,E、F分别是AB、BC的中点,EF=AC。 同理FG=BD,GH=AC,HE=BD。 ∵在梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD。 ∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形。 设AC及EH交于点M, 在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点,则EH∥BD,同理GH∥AC。 又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。 ∴四边形EFGH是正方形。 (2)解:连接EG。 在梯形ABCD中,∵E、F分别是AB、DC的中点, 在Rt△EHG中,∵EH2+GH2=EG2,EH=GH, ∴,即四边形EFGH的面积为。 【考点】三角形中位线定理,等腰梯形的性质,正方形的判定,梯形中位线定理,勾股定理。 4. (2019江苏南通)如图,菱形ABCD中,∠B=60º,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60º,求证:BE=DF; (2)如图2,若∠EAF=60º,求证:△AEF是等边三角形. 【答案】证明:(1)连接AC。 ∵菱形ABCD中,∠B=60°, ∴AB=BC=CD,∠C=180°-∠B=120°。 ∴△ABC是等边三角形。 ∵E是BC的中点,∴AE⊥BC。 ∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。 ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。 ∴EC=CF。∴BE=DF。 (2)连接AC。 ∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°, ∴AB=BC,∠D=∠B=60°,∠ACB=∠ACF。 ∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=AC,∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。 ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。 ∴∠AEB=∠AFC。 在△ABE和△AFC中,∵∠B=∠ACF,∠AEB=∠AFC, AB=AC, ∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。 ∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形。 【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)连接AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,依据菱形的性质,易得△ABC是等边三角形, 又由三线合一,可证得AE⊥BC,从而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,从而证得BE=DF。 (2)连接AC,可得△ABC是等边三角形,即可得AB=AC,以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行线及三角形外角的性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,证得:△AEF是等边三角形。 5. (2019江苏盐城)如图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点. (1)如图②,当点恰好在直线上时(此时及重合),试说明; (2)在图①中,当、两点都在直线的上方时,摸索求三条线段、、之间的数量关系,并说明理由; (3)如图③,当点在直线的下方时,请干脆写出三条线段、、之间的数量关系.(不须要证明) 【答案】解:(1)在正方形中,∵, , 又∵, ∴。∴。∴。 又∵四边形为正方形,∴。∴。 在及中,, (2)。理由如下: 过点作,垂足为, 由(1)知:≌,≌。 (3) 。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)由四边形、是正方形,可得,又由同角的余角相等,求得,然后利用证得≌,依据全等三角形的对应边相等,即可得。 6.(2019四川成都) 如图,已知线段AB∥CD,AD及BC相交于点K,E是线段AD上一动点. (1)若BK=KC,求的值; (2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=AD (),而其余条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请干脆写出你的结论,不必证明. 【答案】解:(1)∵AB∥CD,BK=KC,∴==. (2)如图所示,分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点, ∵BE∥DG,点E是AD的点,∴AB=BG;∵CD∥FG,CD∥AG,∴四边形CDGF是平行四边形,∴CD=FG; ∵∠ABE=∠EBC ,BE∥CF,∴∠EBC=∠BCF,∠ABE=∠BFC,∴BC=BF, ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC,∴AB=BC+CD. 当AE=AD ()时,()AB=BC+CD. 7.(2019福建三明)正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G. (1) 当点P及点C重合时(如图①).求证:△BOG≌△P