四边形培优题及答案

1.（2019河南）如图，在菱形ABCD中，AB2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不及点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN. （1）求证四边形AMDN是平行四边形； （2）填空并证明①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形. 2. （2019浙江杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE． （1）求证AFDE； （2）若∠BAD45，ABa，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长． 【答案】（1）证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，∴∠BAD∠CDA。 ∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，ABAE，DCDF，且∠BAE∠CDF60， ∴AEDF，∠EAD∠FDA，ADDA。 ∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AFDE。 （2）解如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BCHK。 ∵∠BAD45，∴∠HAB∠KDC45。 ∴ABBHAH。 同理CDCKKD。 ∵S梯形ABCD，ABa， ∴S梯形ABCD。 又∵S△ABES△DCF， ∴，解得。 【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。 【分析】（1）依据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。 （2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。 3.（2019江苏南京）如图，梯形ABCD中，AD//BC，ABCD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证四边形EFGH为正方形； （2）若AD2，BC4，求四边形EFGH的面积。 【答案】（1）证明在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EFAC。 同理FGBD，GHAC，HEBD。 ∵在梯形ABCD中，ABDC，∴ACBD。 ∴EFFGGHHE，∴四边形EFGH是菱形。 设AC及EH交于点M， 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。 又∵AC⊥BD，∴∠BOC90。∴∠EHG∠EMC90。 ∴四边形EFGH是正方形。 （2）解连接EG。 在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点， 在Rt△EHG中，∵EH2GH2EG2，EHGH， ∴，即四边形EFGH的面积为。 【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。 4. （2019江苏南通）如图，菱形ABCD中，∠B＝60，点E在边BC上，点F在边CD上． 1如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60，求证BE＝DF； 2如图2，若∠EAF＝60，求证△AEF是等边三角形． 【答案】证明（1）连接AC。 ∵菱形ABCD中，∠B60， ∴ABBCCD，∠C180－∠B120。 ∴△ABC是等边三角形。 ∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。 ∵∠AEF60，∴∠FEC90－∠AEF30。 ∴∠CFE180－∠FEC－∠C180－30－12030。∴∠FEC∠CFE。 ∴ECCF。∴BEDF。 （2）连接AC。 ∵四边形ABCD是菱形，∠B60， ∴ABBC，∠D∠B60，∠ACB∠ACF。 ∴△ABC是等边三角形。 ∴ABAC，∠ACB60。∴∠B∠ACF60。 ∵AD∥BC， ∴∠AEB∠EAD∠EAF∠FAD60∠FAD，∠AFC∠D∠FAD60∠FAD。 ∴∠AEB∠AFC。 在△ABE和△AFC中，∵∠B∠ACF，∠AEB∠AFC， ABAC， ∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AEAF。 ∵∠EAF60，∴△AEF是等边三角形。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B60，依据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形， 又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC∠CFE，即可得ECCF，从而证得BEDF。 （2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得ABAC，以求得∠ACF∠B60，然后利用平行线及三角形外角的性质，可求得∠AEB∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AEAF，证得△AEF是等边三角形。 5. （2019江苏盐城）如图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点. 1如图②,当点恰好在直线上时此时及重合,试说明； 2在图①中,当、两点都在直线的上方时,摸索求三条线段、、之间的数量关系,并说明理由； 3如图③,当点在直线的下方时,请干脆写出三条线段、、之间的数量关系.不须要证明 【答案】解（1）在正方形中,∵， ， 又∵, ∴。∴。∴。 又∵四边形为正方形，∴。∴。 在及中,， （2）。理由如下 过点作，垂足为， 由（1）知≌，≌。 （3） 。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）由四边形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得≌，依据全等三角形的对应边相等，即可得。 6.（2019四川成都） 如图，已知线段AB∥CD，AD及BC相交于点K，E是线段AD上一动点. 1若BKKC，求的值； 2连接BE，若BE平分∠ABC，则当AEAD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究当AEAD ，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系请干脆写出你的结论，不必证明． 【答案】解（1）∵AB∥CD，BKKC，∴. （2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点， ∵BE∥DG，点E是AD的点，∴ABBG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CDFG； ∵∠ABE∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC∠BCF，∠ABE∠BFC，∴BCBF， ∴AB-CDBG-FGBFBC，∴ABBCCD. 当AEAD 时，（）ABBCCD. 7.（2019福建三明）正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1） 当点P及点C重合时（如图①）．求证△BOG≌△P