计算根式113的近似值
四种方法计算的近似值 ※.线性穿插法计算近似值 设=x,并找与之最近的两个完全平方数,有: =10, =x, =11,用线性穿插得: = 13(11-x)=8(x-10) 21x=223, 所以:x=≈10.6190. ※.微分法计算近似值 设函数y=f(x),增量△y=f(x+△x)-f(x)可表示为△y=A△x+o(△x),则函数f(x)在点x₀是可微的,且A△x称作函数在点x₀ 相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即dy=A△x,dy是△y的线性主部,增量△x称为自变量的微分,记作dx ,即dx=△x。 ∵dy=f (x)dx,f(x)=, ∴dy=,对于本题有: -=, =+, =10+ ≈10.6500. ※.极限法计算近似值 原理:当x趋近无穷小时,有(1±x)ᵃ≈1±ax,其中a为不为1的常数。 对于本题: =, = =10 =10*(1+) =10+ ≈10.6500. ※.泰勒展开式计算近似值 ∵f(x)=+f (x₀)+f“(x₀)+O(x³) ∴f(x)=f(x₀)+f (x₀)(x-x₀)+f“(x₀)+O(x³), 其中O(x³)表示x的三次无穷小。本题幂函数y=f(x)=,有: f (x)=x,f“(x)=-x,即: f(x)≈f(x₀)+x₀(x-x₀)-x₀*(x-x₀)²。 对于本题,x=113,x₀=100,x-x₀=13,代入得: ≈+*100-*13²*100 ≈10+*10⁻¹-*13²*10⁻³ ≈10+-. 即: ≈10.6289。 ※.结论拓展分析 1.本次近似计算以保留四位小数为主,从精确度来看,精确度最高的是泰勒展开式法,其次是线性穿插法。 2.所求的某个数a的算术平方根,由于与a相邻有两个可开方数,一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。