4.1.3 球坐标系与柱坐标系
4.1.3 球坐标系与柱坐标系 1.球坐标系、柱坐标系的理解. 2.球坐标、柱坐标与直角坐标的互化. [基础·初探] 1.球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点,从O点引两条相互垂直的射线Ox和Oz作为极轴,再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向,这样就建立了一个球坐标系. 图415 (2)设P是空间一点,用r表示OP的长度,θ表示以Oz为始边,OP为终边的角,φ表示半平面xOz到半平面POz的角,则有序数组(r,θ,φ)就叫做点P的球坐标,其中r≥0,0≤θ≤π,0≤φ<2π. 2.直角坐标与球坐标间的关系 图416 若空间直角坐标系的原点O,Ox轴及Oz轴,分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合,就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,θ,φ)之间的关系,如图416所示. x2+y2+z2=r2, x=rsin_θcos_φ, y=rsin_θsin_φ, z=rcos_θ. 3.柱坐标系 建立了空间直角坐标系Oxyz后,设P为空间中随意一点,它在xOy平面上的射影为Q,用极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面xOy上的极坐标,这时点P的位置可以用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示,把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R. 图417 4.直角坐标与柱坐标之间的关系 [思索·探究] 1.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区分? 【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(凹凸角、极角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系,空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成. 2.在空间的柱坐标系中,方程ρ=ρ0(ρ0为不等于0的常数),θ=θ0,z=z0分别表示什么图形? 【提示】 在极坐标中,方程ρ=ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点,半径为ρ0的圆,方程θ=θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线.而在空间的柱坐标系中,方程ρ=ρ0表示中心轴为z轴,底半径为ρ0的圆柱面,它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的.方程θ=θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面.方程z=z0表示平行于xOy坐标面的平面,如图所示. 常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面. [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨沟通: 疑问1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标 (1)已知点M的球坐标为,则点M的直角坐标为________. (2)设点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为________. 【自主解答】 (1)设M(x,y,z), 则x=2sin ·cos =-1, y=2×sin ×sin =1, z=2×cos =-. 即M点坐标为(-1,1,-). (2)设M(x,y,z), 则x=2×cos =, y=2×sin =1,z=7. 即M点坐标为(,1,7). 【答案】 (1)(-1,1,-) (2)(,1,7) [再练一题] 1.(1)已知点P的柱坐标为,则它的直角坐标为________. (2)已知点P的球坐标为,则它的直角坐标为________. 【解析】 (1)由变换公式得: x=4cos =2, y=4sin =2,z=8. ∴点P的直角坐标为(2,2,8). (2)由变换公式得: x=rsin θcos φ=4sin cos =2, y=rsin θsin φ=4sin sin =2, z=rcos θ=4cos =-2. ∴它的直角坐标为(2,2,-2). 【答案】 (1)(2,2,8) (2)(2,2,-2) 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,如图418建立空间直角坐标系A—xyz,Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标. 图418 【思路探究】 解答本题依据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可. 【自主解答】 点C1的直角坐标为(1,1,1), 设点C1的柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ), 其中ρ≥0,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π, 由公式 及 得 及 得及 结合图形得θ=,由cos φ=得tan φ=. ∴点C1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为(,,1),球坐标为(,φ,), 其中tan φ=,0≤φ≤π. 化点M的直角坐标(x,y,z)为柱坐标(ρ,θ,z)或球坐标(r,θ,φ),须要对公式以及进行逆向变换, 得到以及 提示 在由三角函数值求角时,要先结合图形确定角的范围再求值. [再练一题] 2.(1)设点M的直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系中的坐标. (2)设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标. 【导学号:98990006】 【解】 (1)设M的柱坐标为(ρ,θ,z),则有 解之得ρ=,θ=. 因此,点M的柱坐标为. (2)由坐标变换公式,可得 r===2. 由rcos θ=z=, 得cos θ==,θ=. 又tan φ==1,φ=(M在第一象限), 从而知M点的球坐标为. [真题链接赏析] (教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点. 结晶体的基本单位称为晶胞,如图419(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体积累成的正方体).图形中的点代表钠原子,如图419(2),建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标. (1) (2) 图419 【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体,主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用. 【解】 下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),,,,; 它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),,,. 1.已知点A的柱坐标为(1,0,1),则点A的直角坐标为________. 【解析】 由点A的柱坐标为(1,0,1)知,ρ=1,θ=0,z=1,故x=ρcos θ=1,y=ρsin θ=0