4.1.3　球坐标系与柱坐标系

4.1.3 球坐标系与柱坐标系 1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化． [基础初探] 1．球坐标系与球坐标 1在空间任取一点O作为极点，从O点引两条相互垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系． 图415 2设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组r，θ，φ就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐标与球坐标间的关系 图416 若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标x，y，z与球坐标r，θ，φ之间的关系，如图416所示． x2＋y2＋z2＝r2， x＝rsin_θcos_φ， y＝rsin_θsin_φ， z＝rcos_θ. 3．柱坐标系 建立了空间直角坐标系Oxyz后，设P为空间中随意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标ρ，θρ≥0,0≤θ＜2π表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组ρ，θ，zz∈R表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组ρ，θ，z叫做点P的柱坐标，记作Pρ，θ，z，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R. 图417 4．直角坐标与柱坐标之间的关系 [思索探究] 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区分 【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角凹凸角、极角刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成． 2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0ρ0为不等于0的常数，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形 【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0ρ0为不等于0的常数表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0θ0为常数表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示． 常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面． [质疑手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨沟通 疑问1_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 疑问2_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标 1已知点M的球坐标为，则点M的直角坐标为________． 2设点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为________． 【自主解答】 1设Mx，y，z， 则x＝2sin cos ＝－1， y＝2sin sin ＝1， z＝2cos ＝－. 即M点坐标为－1,1，－． 2设Mx，y，z， 则x＝2cos ＝， y＝2sin ＝1，z＝7. 即M点坐标为，1,7． 【答案】 1－1,1，－ 2，1,7 [再练一题] 1．1已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为________． 2已知点P的球坐标为，则它的直角坐标为________． 【解析】 1由变换公式得 x＝4cos ＝2， y＝4sin ＝2，z＝8. ∴点P的直角坐标为2,2，8． 2由变换公式得 x＝rsin θcos φ＝4sin cos ＝2， y＝rsin θsin φ＝4sin sin ＝2， z＝rcos θ＝4cos ＝－2. ∴它的直角坐标为2,2，－2． 【答案】 12,2，8 22,2，－2 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图418建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标． 图418 【思路探究】 解答本题依据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可． 【自主解答】 点C1的直角坐标为1,1,1， 设点C1的柱坐标为ρ，θ，z，球坐标为r，φ，θ， 其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式 及 得 及 得及 结合图形得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝. ∴点C1的直角坐标为1,1,1，柱坐标为，，1，球坐标为，φ，， 其中tan φ＝，0≤φ≤π. 化点M的直角坐标x，y，z为柱坐标ρ，θ，z或球坐标r，θ，φ，须要对公式以及进行逆向变换， 得到以及 提示 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值． [再练一题] 2．1设点M的直角坐标为1,1,1，求它在柱坐标系中的坐标． 2设点M的直角坐标为1,1，，求它的球坐标． 【导学号98990006】 【解】 1设M的柱坐标为ρ，θ，z，则有 解之得ρ＝，θ＝. 因此，点M的柱坐标为. 2由坐标变换公式，可得 r＝＝＝2. 由rcos θ＝z＝， 得cos θ＝＝，θ＝. 又tan φ＝＝1，φ＝M在第一象限， 从而知M点的球坐标为. [真题链接赏析] 教材第17页习题4.1第16题建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点． 结晶体的基本单位称为晶胞，如图4191是食盐晶胞的示意图可看成是八个棱长为的小正方体积累成的正方体．图形中的点代表钠原子，如图4192，建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标． 1 2 图419 【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用． 【解】 下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为0,0,0，，，，； 它们的柱坐标分别为0,0,0，1,0,0，，，. 1．已知点A的柱坐标为1,0,1，则点A的直角坐标为________． 【解析】 由点A的柱坐标为1,0,1知，ρ＝1，θ＝0，z＝1，故x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0