4-3-1、2 空间直角坐标系、空间两点间的距离公式
第4章 4.3 4.3.1、2 一、选择题 1.点M(3,-3,1)关于xOy平面的对称点是( ) A.(-3,3,-1) B.(-3,-3,-1) C.(3,-3,-1) D.(-3,3,1) [答案] C 2.点A(-1,2,1)在x轴上的投影和在xOy平面上的投影点分别为( ) A.(-1,0,1)、(-1,2,0) B.(-1,0,0)、(-1,2,0) C.(-1,0,0)、(-1,0,0) D.(-1,2,0)、(-1,2,0) [答案] B 3.已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则( ) A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形[来源:1ZXXK] C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形 [答案] D [解析] ∵|AB|=,|AC|=2,|BC|=,而|AB|+|BC|=|AC|,∴三点A、B、C共线,构不成三角形. 4.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是( ) A. B.|a| C.|b| D.|c| [答案] D [解析] 作PP1⊥xOy平面,则P1(a,b,0),|PP1|=|c|为所求. 5.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( ) A.19 B.- C. D.[来源:1ZXXK] [答案] C [解析] |AB|= = 当x=时|AB|取得最小值,故选C. 6.已知A(2,5,-6),点P在y轴上,|PA|=7,则点P的坐标是( ) A.(0,8,0) B.(0,2,0) C.(0,8,0)或(0,2,0) D.(0,-8,0) [答案] C [解析] 点P在y轴上,可设为(0,y,0),[来源:Zxxk.Com] 因为|PA|=7,A(2,5,-6), 所以=7,解得y=2或8. 7.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满意( ) A.x+y+z=-1 B.x+y+z=1 C.x+y+z=4 D.x+y+z=0 [答案] D [解析] 设到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z),则|CA|2=|CB|2,即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2, 化简得:x+y+z=0. 8.已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A、B两点距离的最小值为( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] |AB|= ==≥. 9 将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为( ) A.y=-x+ B.y=3x-3 C.y=-x+1 D.y=3x+1 [答案] A [解析] 直线y=3x绕原点逆时针旋转90°后得到直线y=-x,然后再向右平移一个单位得到直线y=-x+. 10.光线从A(-3,5)射到直线l:3x-4y+4=0上以后,再反射到点B(2,15),则光线从A到B的路程长是( ) A.5 B.5 C.5 D.5 [答案] B [解析] 点A(-3,5)关于直线l的对称点A′在反射线所在直线上,所求距离为|A′B|. 设A′(a,b),由对称知AA′⊥l且AA′中点在l上得A′(3,-3),∴|A′B|=5,选B. 二、填空题 11.点M(4,-3,5)到原点的距离d=________. [答案] 5 12.点M(a,b,c)关于原点的对称点是________,关于yOz坐标面的对称点是________. [答案] (-a,-b,-c) (-a,b,c) 13.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为________. [答案] (5,13,-3) [解析] 由平行四边形中对角线相互平分的性质知,AC的中点即为BD的中点,AC的中点O(,4,-1),设D(x,y,z),则 =,4=,-1=, ∴x=5,y=13,z=-3,故D(5,13,-3). 14.在空间直角坐标系中,正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________. [答案] [解析] |AM|= =,∴对角线|AC1|=2, 设棱长x,则3x2=(2)2,∴x=. 三、解答题 15.已知长方体ABCD—A1B1C1D1的棱长AB=14,AD=6,AA1=10 (1)以这个长方体的顶点A为坐标原点,射线AB,AD,AA1分别为Ox,Oy,Oz轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各顶点的坐标. (2)以C点为原点,以射线BC,CD,CC1的方向分别为Ox,Oy,Oz轴的正方向,建立空间直角坐标系,求长方体各顶点的坐标. [解析] (1)A(0,0,0),B(14,0,0),C(14,6,0),D (0,6,0),A1(0,0,10),B1(14,0,10),C1(14,6,10),D1(0,6,10) (2)A(-6,14,0),B(-6,0,0),C(0,0,0),D(0,14,0),A1(-6,14,10),B1(-6,0,10),C1(0,0,10),D1(0,14,10). 16.(1)在z轴上求与点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点的坐标. (2)在yOz的平面上,求与点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标. [解析] (1)设所求点P(0,0,c),[来源:Z_xx_k.Com] 由题设|PA|=|PB|, ∴=, 解之得c=,∴P(0,0,) (2)设所求点为M(0,b,c)∵|MA|=|MB|=|MC|, ∴ ∴∴∴M(0,1,-2). 17.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E、F分别为BB1和DC的中点,建立适当的空间直角坐标系,试写出图中各点的坐标. [解析] 建立如右图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0). *18.平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆,其方程为x2+y2=1,在空间中,到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么?试写出它的方程. [解析] 与坐标原点的距离为1的点P(x,y,z)的轨迹是一个球面,满意|OP|=1,即=1 ∴x2+y2+z2=1这就是所求的球面方程. [来源:学.科.网Z.X.X.K]