3.1.1两角差的余弦公式
3. 1.1两角差的余弦公式 一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教A版中学数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导,要引导学生主动参加,独立思索,自己得出相应的结论。 二、教学目标 1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简洁应用,使学生初步理解公式的结构 及其功能,并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计,增加学生的应用意识,激发学生的学习主动性。 3.在探究公式的过程中,逐步培育学生学会分析问题、解决问题的实力,培育学生学会合作沟通的实力。 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探究和简洁应用。 难点 探究过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质,以及平面对量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利用随意角的正弦余弦值来表示,坚固的驾驭这个公式,并会敏捷运用公式进行下一节内容的学习。 五、教学方法 1.自主性学习法:通过自学驾驭两角差的余弦公式. 2.探究式学习法:通过分析、探究、驾驭两角差的余弦公式的过程. 3.反馈练习法:以练习来检验学问的应用状况,找出未驾驭的内容及其存在的差距 六、课前打算 1.学生打算:预习《两角差的余弦公式》,理解两种方法的推理过程。 2.老师打算:课前预习学案,课内探究学案,课后延长拓展学案。 七、课时支配:1课时 八、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 以学校教学楼为背景素材(见课件)引入问题。并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值,以激趣激疑,导入课题。 老师问:想一想: 学校因某次活动的须要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于奢侈,你能算一算究竟须要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题:(1)能不能不用计算器求值 : , , (2) 设计意图:由给出的背景素材,使学生感受数学源于生活,又应用于生活,唤起学生解决问题的爱好,和抛出新学问引起学生的怀疑,在爱好和怀疑中,激发学生的求知欲,引导学习方向。 (二)、研探新知 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角、、的终边。 ②怎样作出角的余弦线OM ③怎样利用几何直观找寻OM的表示式。 设计意图:尽量用动画课件把探究过程展示出来,使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的相识。 (1) 设角终边与单位圆地交点为P1,。 (2) 过点P作PM⊥X轴于点M,那么OM就是 的余弦线。 (3) 过点P作PA⊥OP1于A,过点A作AB⊥x轴于B,过点P作PC⊥AB于C 那么 OA表示 ,AP 表示,并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA+AP 最终要提示学生留意,公式推导的前提条件: 、、都是锐角,且 2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探究的过程进一步严谨性的思索和处理,从而得到合理的科学结论。 设计意图:让学生经验利用向量学问解决一个数学问题的过程,体会向量方法解决数学问题的简洁性。 如图,建立单位圆O 由向量数量积的概念,有A O B x y 由向量数量积的坐标表示,有 因为 、、都是任 意 角,所以也是随意角,但由诱导公式以总可找到一个,使得 。 于是对于随意角、都有 例1. 利用差角余弦公式求的值 (求解过程让学生独立完成,留意引导学生多方向、多维度思索问题) 解法1: 解法2:[来源:学+科+网] 变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1); (2) (让学生联系公式和本题的条件,考虑清晰要计算,应作那些打算。) 解:由,得 又由,是第三象限角,得 所以 让学生结合公式,明确须要再求哪些三角函数值,可使问题得到解决。 变式训练: (三)、质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 【点评】:把一个详细角构造成两个角的和、差形式,有许多种构造方法,例如:,要学会敏捷运用. 2.求值 3.化简 提示:利用拆角思想的变换技巧 (设计意图:通过变式训练,进一步加深学生对公式的理解和应用,体验公式既可正用、逆用,还可变用.还可使学生驾驭“变角”和“拆角”的思想方法解决问题,培育了学生的敏捷思维品质,提高学生的数学沟通实力,促进思维的创新。) (四)发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式,要求同学们驾驭公式的推导,能娴熟运用公式,留意公式的逆用。在解题过程中留意角、的象限,也就是符号问题,学会敏捷运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业,课本习题 (设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。老师课后刚好批阅本节的延长拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2. 3. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用随意角的正弦余弦值来表示,回顾公式 的推导过程,视察公式的特征,留意符号区分以及公式中角,的随意性,特殊要留意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).还要留意驾驭“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图:让学生通过自己小结,反思学习过程,加深对公式及其推导过程(包括发觉、 猜想、论证的数学化的过程)的理解。 十一、学案设计(见下页) 两角差的余弦公式 课前预习学案 一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》,体会两角差的余弦公式的推导过程 ,尤其是向量法的运用。 二、 预习内容 阅读课本相关内容,经验用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,进一步体会向量方法作用,并回答以下问题: 1. 如何用随意角的正弦余弦值来表示; 2. 如何求出的值; 3. 会求的值吗? 三、 提出怀疑 怀疑点 怀疑内容 课内探究学案 一、 学习内容 通过公式的简洁应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和差公式打 好基础。 二、 学习过程 探究一:(1)能不能不用计算器求值 : , , (2) 探究二:两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角、、的终边。 ②怎样作出角的余弦线OM ③怎样利用几何直观找寻OM的表示式。 2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ④ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ⑤ 对探究的过程进一步严谨性的思索和处理,从而得到合理的科学结论。 例题整理 例1. 利用差角余弦公式求