3.1.1两角差的余弦公式

3. 1.1两角差的余弦公式 一、教材分析 两角差的余弦公式是人教A版中学数学必修4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参加，独立思索，自己得出相应的结论。 二、教学目标 1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简洁应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计，增加学生的应用意识，激发学生的学习主动性。 3.在探究公式的过程中，逐步培育学生学会分析问题、解决问题的实力，培育学生学会合作沟通的实力。 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探究和简洁应用。 难点 探究过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质，以及平面对量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用随意角的正弦余弦值来表示，坚固的驾驭这个公式，并会敏捷运用公式进行下一节内容的学习。 五、教学方法 1.自主性学习法通过自学驾驭两角差的余弦公式. 2.探究式学习法通过分析、探究、驾驭两角差的余弦公式的过程. 3.反馈练习法以练习来检验学问的应用状况，找出未驾驭的内容及其存在的差距 六、课前打算 1.学生打算预习两角差的余弦公式，理解两种方法的推理过程。 2.老师打算课前预习学案，课内探究学案，课后延长拓展学案。 七、课时支配1课时 八、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 老师问想一想 学校因某次活动的须要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于奢侈,你能算一算究竟须要多长钢绳吗 要求在地面上测量,测量工具皮尺,测角器 问题（1）能不能不用计算器求值 ， ， （2） 设计意图由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的爱好，和抛出新学问引起学生的怀疑，在爱好和怀疑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知 1.三角函数线法 问①怎样作出角、、的终边。 ②怎样作出角的余弦线OM ③怎样利用几何直观找寻OM的表示式。 设计意图尽量用动画课件把探究过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的相识。 （1） 设角终边与单位圆地交点为P1，。 （2） 过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。 （3） 过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C 那么 OA表示 ，AP 表示，并且 于是 OMOBBM OBCP OAAP 最终要提示学生留意，公式推导的前提条件 、、都是锐角，且 2.向量法 问①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示 ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探究的过程进一步严谨性的思索和处理，从而得到合理的科学结论。 设计意图让学生经验利用向量学问解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。 如图,建立单位圆O 由向量数量积的概念,有A O B x y 由向量数量积的坐标表示,有 因为 、、都是任 意 角,所以也是随意角,但由诱导公式以总可找到一个，使得 。 于是对于随意角、都有 例1. 利用差角余弦公式求的值 （求解过程让学生独立完成，留意引导学生多方向、多维度思索问题） 解法1 解法2[来源学科网] 变式训练利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式 （1）； （2） （让学生联系公式和本题的条件，考虑清晰要计算，应作那些打算。） 解由，得 又由，是第三象限角，得 所以 让学生结合公式，明确须要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。 变式训练 （三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 【点评】把一个详细角构造成两个角的和、差形式，有许多种构造方法，例如，要学会敏捷运用. 2.求值 3．化简 提示利用拆角思想的变换技巧 （设计意图通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生驾驭“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培育了学生的敏捷思维品质，提高学生的数学沟通实力，促进思维的创新。） （四）发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们驾驭公式的推导，能娴熟运用公式，留意公式的逆用。在解题过程中留意角、的象限，也就是符号问题，学会敏捷运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本习题 设计意图布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。老师课后刚好批阅本节的延长拓展训练。 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2. 3. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用随意角的正弦余弦值来表示，回顾公式 的推导过程，视察公式的特征，留意符号区分以及公式中角，的随意性，特殊要留意公式既可正用、逆用，还可变用即要活用.还要留意驾驭“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发觉、 猜想、论证的数学化的过程）的理解。 十一、学案设计见下页 两角差的余弦公式 课前预习学案 一、预习目标 预习两角差的余弦公式，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。 二、 预习内容 阅读课本相关内容，经验用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题 1. 如何用随意角的正弦余弦值来表示； 2. 如何求出的值; 3. 会求的值吗 三、 提出怀疑 怀疑点 怀疑内容 课内探究学案 一、 学习内容 通过公式的简洁应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。 二、 学习过程 探究一（1）能不能不用计算器求值 ， ， （2） 探究二两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法 问①怎样作出角、、的终边。 ②怎样作出角的余弦线OM ③怎样利用几何直观找寻OM的表示式。 2.向量法 问①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示 ④ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ⑤ 对探究的过程进一步严谨性的思索和处理，从而得到合理的科学结论。 例题整理 例1. 利用差角余弦公式求