2第2课时 圆的轴对称性
课题 第2课时 圆的轴对称性(垂径定理) 授课人 教 学 目 标 学问技能 1.通过视察试验,理解圆的轴对称性. 2.驾驭垂径定理及其推论,理解其证明方法,并能运用垂径定理解决有关证明和实际问题. 数学思索 在探究问题的过程中培育学生的动手操作实力,使学生感受圆的轴对称性,体会圆的性质,经验探究圆的轴对称性及相关性质的过程. 问题解决 进一步体会和理解探讨几何图形的各种方法,培育学生独立探究、相互合作沟通的精神. 情感看法 使学生领悟数学的严谨性和探究精神,培育学生实事求是的科学看法和主动参加的主动精神. 教学 重点 垂径定理及其推论. 教学 难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 复习 1.圆是轴对称图形吗?假如是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你用了什么方法解决上述问题? 师生活动:学生自由回答,老师刚好激励,评价. 从已有学问动身,激发学生的学习爱好,营造主动思索、主动探究的氛围. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建立的石拱桥,是我国古代人民勤劳与才智的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度为37.4米,拱高为7.2米,怎样才能求出它的主桥拱的半径呢? 图27-1-102 通过本节课的学习,我们就会很简单解决这一问题. 师生活动:学生动脑思索问题,解答受阻,老师引入课题. 结合赵州桥相关资料渗透爱国主义教化,并引入课题. (续表) 活动 二: 实践 探究 沟通 新知 活动1:学生动手操作 把事先打算好的一张圆形纸片,沿着圆的随意一条直径对折,重复做几次,能有什么发觉?由此你能得到什么结论?重复做几次,试一试! 师生活动:学生动手操作,老师视察操作结果,在学生归纳的过程中留意学生语言的精确性和简洁性. 结论:圆是轴对称图形,随意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 活动2:出示问题 从上面的证明可知,假如圆O的直径CD垂直于弦AA′,垂足为M,那么点A和点A′是对称点,把圆沿着直径CD折叠时,点A与点A′重合,你能发觉图中有哪些相等的线段和弧?为什么? 图27-1-103 师生活动:学生进行视察、分析,通过合情推理总结结论.老师指导学生分析题目中的条件和结论,老师用多媒体演示,学生尝试归纳垂径定理后,老师补充、完善,最终用几何语言进行描述. 老师板书:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵CD⊥AA′,CD是直径, ∴AM=MA′,=,=. 活动3:老师针对图形,提出问题 问题1:垂径定理中由几个条件得到几个结论? 师生分析得:①直径;②直径垂直于弦;③平分弦;④平分优弧;⑤平分劣弧. 问题2:把垂径定理条件中的垂直和平分互换,是否成立呢? 学生探讨、沟通,并用语言进行总结,老师引导、点拨,得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 1.在探究问题的过程中培育学生的动手操作实力,使学生感受圆的对称性,驾驭证明轴对称图形的方法. 2.探究垂直于弦的直径的性质,培育学生的思维实力和语言表达实力. 活动 三: 开放 训练 体现 应用 【应用举例】 例1 如图27-1-104,在⊙O中,若弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的距离为3 cm,求⊙O的半径. 解:过点O作OC⊥AB于点C,连结OB,则AC=BC=AB.∵AB=8 cm,OC=3 cm,∴BC=4 cm.在Rt△BOC中,OB===5(cm).即⊙O的半径是5 cm. 图27-1-104 师生活动:老师引导学生分析,圆心到弦的距离为3 cm,则须要作协助线——圆心到弦的垂线段,连结OB得半径从而构造直角三角形进行解答. 学生书写解答过程,老师做好点评. (续表) 活动 三: 开放 训练 体现 应用 【拓展提升】 例2 如图27-1-105,⊙O的半径为5,弦AB=8,点C在弦AB上,且AC=6,过点C作CD⊥AB交OB于点D,则CD的长为(C) A.1 B.2 C.1.5 D.2.5 图27-1-105 例3 已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图27-1-106). (1)求证:AC=BD; (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长. 图27-1-106 解:(1)证明:过O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE,∴BE-DE=AE-CE,即AC=BD.(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连结OC,OA,∴OE=6,∴CE===2,AE===8,∴AC=AE-CE=8-2 . 例4 解答赵州石拱桥的问题. 老师引导学生分析:1.依据桥的实物图画出几何图形; 2.结合所画图形思索:圆的半径、弦心距、弦、拱高之间有怎样的数量关系? 学生尝试解答问题,小组内沟通、探讨,书写解答过程,老师做好指导工作. 老师总结:在圆中解决有关弦或半径的问题,经常须要作垂直于弦的直径或弦心距,把垂径定理和勾股定理结合,得到半径r,弦心距d,弦长a之间的关系:r2=d2+. 变式 如图27-1-107,一条马路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=180 m,CD=30 m,则这段弯路的半径为(A) 图27-1-107 A.150 m B.165 m C.180 m D.200 m 1.学习弦心距的作法,强调在垂径定理中的应用,用半径、弦心距、弦构造直角三角形的重要作用. 2.体会转化思想,化未知为已知,从而解决问题,同时把握一类题型的解题方法. 活动 四: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列命题中错误的是( ) ①弦的垂直平分线经过圆心;②平分弦的直径垂直于弦;③梯形的对角线相互平分;④圆的对称轴是直径. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图27-1-108,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD的长是( ) 图27-1-108 A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.已知P为⊙O内一点,OP=3 cm,⊙O半径为5 cm,则经过P点的最短弦长为________,最长弦长为________. (续表) 活动 四: 课堂 总结 反思 4.把球放在长方体纸